Арифметика в разных системах

Зачем нужны системы счисления

Если в задачах встречаются числа с индексами, буквами или необычным основанием, легко растеряться: привычные правила будто перестают работать. На самом деле меняется только способ записи числа. Разберись, как устроены системы счисления, и ты научишься переводить числа, выполнять вычисления и уверенно решать задания по кодированию.

Система счисления — это способ записывать числа с помощью определённых цифр и правил. В десятичной системе используются цифры от 0 до 9, а основание равно 10. В двоичной системе есть только 0 и 1, основание равно 2. В восьмеричной используются цифры от 0 до 7, в шестнадцатеричной — цифры 0–9 и буквы A, B, C, D, E, F.

Значение цифры зависит от её позиции. Например, в числе 583 цифра 5 означает 5 × 100, цифра 8 — 8 × 10, а цифра 3 — 3 × 1. Поэтому запись числа можно представить как сумму разрядных слагаемых.

\( 583_1_0 = 5 \times 10^2 + 8 \times 10^1 + 3 \times 10^0 \)
\( 1011_2 = 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 \)

Индекс внизу показывает основание системы. Если индекс не указан, обычно предполагают десятичную систему.

Перевод из любой системы в десятичную

Чтобы перевести число в десятичную систему, нужно каждую цифру умножить на основание в степени, соответствующей её позиции, начиная справа с нулевой степени. Затем все полученные значения складываются.

Алгоритм выглядит так: пронумеруй разряды справа налево; запиши степени основания; умножь цифры на соответствующие степени; сложи результаты. Этот способ работает для двоичной, троичной, восьмеричной и любой другой позиционной системы.

\( 1101_2 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 \)
\( 1101_2 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13_1_0 \)

В шестнадцатеричной системе нужно помнить значения букв: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15. Например, B4₁₆ = 11 × 16 + 4 = 180₁₀.

Перевод из десятичной системы

Для перевода целого десятичного числа в другую систему применяют деление с остатком. Число последовательно делят на новое основание, записывают остатки и продолжают деление с полученным частным. Когда частное станет равным нулю, остатки читают снизу вверх.

Рассмотрим перевод 25₁₀ в двоичную систему. При делении на 2 остатки могут быть только 0 или 1. Последний остаток становится первой цифрой двоичной записи.

25 : 2 = 12, остаток 1
12 : 2 = 6, остаток 0
6 : 2 = 3, остаток 0
3 : 2 = 1, остаток 1
1 : 2 = 0, остаток 1
\( 25_1_0 = 11001_2 \)

Проверка выполняется обратным переводом: 1 × 2⁴ + 1 × 2³ + 0 × 2² + 0 × 2¹ + 1 = 25. Для перевода в восьмеричную систему дели на 8, а в шестнадцатеричную — на 16. Остатки от 10 до 15 заменяй буквами A–F.

Дробная часть переводится иначе: её последовательно умножают на основание, каждый раз отделяя целую часть. В школьных задачах чаще встречаются целые числа, поэтому сначала уверенно освой деление с остатком.

Арифметика в разных системах

Складывать и вычитать числа можно прямо в любой системе, но перенос возникает тогда, когда сумма цифр достигает основания. В двоичной системе 1 + 1 = 10₂: записываем 0, а 1 переносим в следующий разряд. В восьмеричной системе перенос появляется после суммы 7, в шестнадцатеричной — после F.

Удобно начинать вычисления справа налево, как в десятичной системе. Главное — не использовать цифры, которых нет в выбранной системе. Например, цифра 2 недопустима в двоичной записи.

\( 1011_2 + 0110_2 = 10001_2 \)
Справа: 1 + 0 = 1
1 + 1 = 10₂, пишем 0, переносим 1
0 + 1 + 1 = 10₂, пишем 0, переносим 1
1 + 0 + 1 = 10₂, пишем 0, переносим 1

Умножение тоже подчиняется знакомым правилам, но таблица умножения зависит от основания. Если вычисление кажется громоздким, можно перевести числа в десятичную систему, выполнить действие и перевести результат обратно. Важно указать этот промежуточный шаг, чтобы не потерять основание.

Кодирование и типичные ошибки

Компьютер хранит данные в виде последовательностей нулей и единиц. Один двоичный разряд называется битом, а 8 бит образуют байт. Кодирование — это представление информации с помощью условных обозначений. Например, символы текста могут получать числовые коды, а цвет пикселя — набор значений для отдельных каналов.

Система	Основание	Допустимые символы
Двоичная	2	0, 1
Восьмеричная	8	0–7
Десятичная	10	0–9
Шестнадцатеричная	16	0–9, A–F

Частая ошибка — читать остатки при переводе в том же порядке, в каком они получены. Ещё одна проблема — забывать индекс системы или смешивать цифры разных оснований. Проверяй результат обратным переводом: это быстро обнаруживает большинство арифметических ошибок.

Закрепить навык можно в личном кабинете с бесплатной практикой: чередуй перевод чисел и арифметические действия.

Что запомнить

Система счисления определяется основанием и набором допустимых цифр. При переводе в десятичную систему используй разложение по степеням основания. При переводе из десятичной системы выполняй последовательное деление с остатком и читай остатки снизу вверх.

В арифметике разных систем действуют привычные правила сложения, вычитания и умножения, но перенос зависит от основания. В двоичной системе 1 + 1 = 10₂. Любой ответ полезно проверить обратным переводом.

Если впереди экзаменационные задания, посмотри примеры в разделах подготовки к ОГЭ или подготовки к ЕГЭ. Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете, отмечая, на каком этапе появляется ошибка.