Формулы ЕГЭ по математике: полный справочник

Базовые формулы, которые экономят время

На экзамене теряются не только на сложных задачах: одна забытая формула или ошибка со знаком может стоить балла. Этот справочник соберёт основные правила в одном месте, чтобы ты быстро повторил тему, выбрал нужную формулу и проверил ответ.

Степени и корни

\( aᵐ \cdot aⁿ = aᵐ^+ⁿ \)
Обозначения: a — основание степени; m и n — показатели.

\( aᵐ : aⁿ = aᵐ^-ⁿ, a \ne 0 \)
Обозначения: a — ненулевое основание; m и n — показатели степеней.

\( \sqrt{a}^2 = |a| \)
Обозначения: a — любое действительное число; |a| — его модуль.

\( a^-ⁿ = 1 : aⁿ, a \ne 0 \)
Обозначения: a — основание; n — натуральный показатель.

Корень из квадрата нельзя автоматически заменять на a: правильный результат — |a|. Эти правила нужны при преобразовании выражений, решении уравнений и проверке области допустимых значений.

Как быстро решать уравнения и неравенства

В алгебре важно не просто помнить формулу, а понимать, когда она сокращает решение. Сначала приведи выражение к стандартному виду, затем выбери метод и обязательно сделай проверку.

\( D = b^2 - 4ac \)
Обозначения: D — дискриминант; a, b, c — коэффициенты квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.

\( x_1 = (-b + \sqrt{D}) : 2a; x_2 = (-b - \sqrt{D}) : 2a \)
Обозначения: x₁ и x₂ — корни; a и b — коэффициенты; D — дискриминант.

\( x_0 = -b : 2a \)
Обозначения: x₀ — абсцисса вершины параболы; a и b — коэффициенты.

\( aⁿ - bⁿ = (a - b)(aⁿ^-^1 + aⁿ^-^2b + ... + bⁿ^-^1) \)
Обозначения: a и b — выражения; n — натуральное число.

Если D меньше нуля, действительных корней нет; если равен нулю, корень один. В неравенствах при умножении на отрицательное число знак меняется. Закрепить алгоритмы можно в бесплатном личном кабинете Просто Урок.

Проценты, прогрессии и прикладные задачи

Эти формулы встречаются в задачах про скидки, вклады, зарплату, движение по дням и повторяющиеся изменения. Переводи процент в десятичную дробь: 7% = 0,07. Слово «увеличили на» означает умножение на 1 + p, а «уменьшили на» — на 1 − p.

\( A = B \cdot (1 + p : 100) \)
Обозначения: B — исходное значение; A — новое значение; p — процент увеличения.

\( A = B \cdot (1 - p : 100) \)
Обозначения: B — исходное значение; A — новое значение; p — процент уменьшения.

\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)
Обозначения: aₙ — n-й член арифметической прогрессии; a₁ — первый член; d — разность.

\( S_n = n(a_1 + a_n) : 2 \)
Обозначения: Sₙ — сумма первых n членов; n — количество членов; a₁ и aₙ — первый и последний члены.

\( b_n = b_1 \cdot qⁿ^-^1 \)
Обозначения: bₙ — n-й член геометрической прогрессии; b₁ — первый член; q — знаменатель прогрессии.

Частая ошибка — считать последовательные скидки как одну сумму процентов. Скидки 20% и 10% дают множитель 0,8 · 0,9, а не 0,7.

Геометрия: длины, площади и объёмы

В геометрии сначала сделай рисунок и подпиши известные величины. Формула становится понятнее, если ясно, какая сторона является высотой, радиусом или диагональю.

\( a^2 + b^2 = c^2 \)
Обозначения: a и b — катеты прямоугольного треугольника; c — гипотенуза.

\( S = a \cdot hₐ : 2 \)
Обозначения: S — площадь треугольника; a — основание; hₐ — высота к этому основанию.

\( S = \pi r^2; L = 2\pi r \)
Обозначения: S — площадь круга; L — длина окружности; r — радиус; π ≈ 3,14.

\( V = abc \)
Обозначения: V — объём прямоугольного параллелепипеда; a, b, c — его измерения.

\( V = \pi r^2h \)
Обозначения: V — объём цилиндра; r — радиус основания; h — высота.

Не смешивай единицы: сантиметры нужно перевести в метры до вычисления. Площадь измеряется в квадратных единицах, объём — в кубических.

Тригонометрия и координаты без путаницы

Тригонометрические формулы помогают работать с углами, а координатные — находить расстояния и середины отрезков. Запомни базовые тождества и следи, в градусах или радианах задан угол.

\( \sin ^2\alpha + \cos ^2\alpha = 1 \)
Обозначения: α — угол; sin α и cos α — его синус и косинус.

\( \tg \alpha = \sin \alpha : \cos \alpha \)
Обозначения: tg α — тангенс угла; sin α и cos α — синус и косинус; cos α ≠ 0.

\( AB = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) \)
Обозначения: A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) — концы отрезка; AB — его длина.

\( M((x_1 + x_2) : 2; (y_1 + y_2) : 2) \)
Обозначения: M — середина отрезка AB; координаты точек указаны в скобках.

\( y = kx + b \)
Обозначения: k — угловой коэффициент прямой; b — ордината точки пересечения с осью y.

В координатах не теряй скобки при вычитании отрицательных чисел. Для углов полезно держать рядом таблицу значений 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Что запомнить перед тренировкой

Формулы работают только вместе с внимательным чтением условия. Проверь единицы, ограничения, знак ответа и соответствие результата вопросу. Для квадратного уравнения вспомни дискриминант, для прямоугольного треугольника — теорему Пифагора, для процентов — множитель изменения.

\( P(A) = m : n \)
Обозначения: P(A) — вероятность события A; m — число благоприятных исходов; n — число равновозможных исходов.

\( v = s : t \)
Обозначения: v — скорость; s — расстояние; t — время.

\( s = vt \)
Обозначения: s — расстояние; v — скорость; t — время.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете Просто Урок и реши 5 заданий по теме. Так ты увидишь, какие формулы уже узнаёшь уверенно, а какие требуют повторения.