Логические задачи на ЕГЭ

Что такое логические задачи на ЕГЭ

Логические задачи часто кажутся набором странных условий: таблицы, высказывания, истинность, отрицания. Из-за спешки легко потерять баллы даже тогда, когда общий смысл понятен. На самом деле большинство таких заданий решается по понятному алгоритму: перевести текст на язык логики, выделить связи и проверить варианты. В этой статье разберём, как действовать последовательно, где искать ключевые слова и как не запутаться в таблицах истинности.

Логика изучает высказывания, которые могут быть истинными или ложными. Например: «Число делится на 3» — это высказывание. А вопрос «Делится ли число на 3?» высказыванием не является, потому что не имеет значения истинности без ответа.

В ЕГЭ встречаются условия с союзами «и», «или», «если…, то…», «тогда и только тогда», а также отрицания. Важно не угадывать ответ по смыслу, а точно определить, какая логическая операция скрыта за каждой фразой.

Основные логические операции

Обозначим высказывания буквами A и B. Союз «и» означает одновременное выполнение условий: A · B истинно только тогда, когда истинны и A, и B. Союз «или» обычно понимается как хотя бы одно из условий: A ∨ B ложно только тогда, когда оба высказывания ложны.

Импликация «если A, то B» записывается как A → B. Она ложна лишь в одном случае: A истинно, а B ложно. Это частая ловушка: из того, что произошло A, должно следовать B, но обратное утверждение автоматически не появляется.

Эквивалентность «A тогда и только тогда, когда B» истинна, если значения совпадают. Отрицание меняет значение высказывания: не A истинно, когда A ложно.

Фраза	Операция	Когда истинна
A и B	A · B	Оба условия истинны
A или B	A ∨ B	Истинно хотя бы одно
Если A, то B	A → B	Кроме случая 1 → 0
A тогда и только тогда, когда B	A ↔ B	Значения совпадают

Алгоритм решения по шагам

Сначала выпиши все простые условия и обозначь их буквами. Не пытайся сразу работать со всем длинным предложением: раздели его на части по союзам и скобкам. Затем переведи каждую часть в логическую формулу, соблюдая порядок действий.

Далее определи, что именно спрашивается: набор допустимых значений, количество решений, истинность выражения или код некоторого объекта. Если вариантов немного, удобно перебрать их в таблице. Если переменных несколько, составь таблицу истинности: для двух переменных будет 4 строки, для трёх — 8.

Проверяй результат обратной подстановкой в исходное условие. Такой шаг занимает немного времени, но помогает обнаружить ошибку в трактовке «или», перепутанное отрицание или неверно раскрытую импликацию.

Разобранный пример

Рассмотрим задачу: при каких значениях X истинно высказывание «X ≥ 4 и X < 7»? Здесь два простых условия соединены союзом «и», поэтому подходят только значения, которые одновременно удовлетворяют обоим ограничениям.

A: X ≥ 4
B: X < 7
A · B: 4 ≤ X < 7
Целые значения: X = 4, 5, 6
Ответ: 3 значения

Если бы в условии стояло «X ≥ 4 или X < 7», решение было бы другим: объединялись бы два множества значений. А при записи «если X ≥ 4, то X < 7» нужно помнить об импликации. Она не требует, чтобы X обязательно было меньше 7 во всех случаях: ложной она становится только при X ≥ 4 и X ≥ 7.

Тот же принцип работает в задачах с предметами, людьми и кодами. Например, если пароль должен содержать цифру 2 или цифру 5, достаточно одного из условий. Если сказано «и», обе цифры должны присутствовать.

Типичные ошибки и практика

Первая ошибка — считать «или» строгим исключением, когда по математической логике это обычно «хотя бы одно». Вторая — принимать импликацию за равносильность. Из A → B нельзя делать вывод B → A. Третья — забывать, что отрицание составного выражения меняет связки: «не (A и B)» означает «не A или не B».

Полезно решать задачи в два прохода. Сначала сделай черновой перевод и отметь подходящие варианты. Затем проверь только спорные места: границы неравенств, число элементов, смысл отрицания. Если ответ строится на переборе, располагай варианты в таблице, а не держи всё в памяти.

Для закрепления можно открыть бесплатную практику в личном кабинете и после каждого ответа записывать не только результат, но и логическое правило, которое использовалось.

Что запомнить

Логическая задача становится проще, если идти по порядку: выделить простые высказывания, перевести союзы в операции, составить таблицу или перебрать варианты, а затем проверить ответ по исходному тексту. «И» требует выполнения всех условий, «или» — хотя бы одного, а импликация A → B нарушается только в случае истинного A и ложного B.

Не спеши раскрывать выражение в уме. Запиши промежуточный вариант, особенно если в нём есть отрицание, скобки или несколько условий. Для повторения темы можно использовать материалы о подготовке к ЕГЭ и задания для ОГЭ. Следующий шаг простой: зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно.