ЕГЭ задание 1 (профиль): простейшие уравнения: разбор с решением

Что проверяет задание 1 профиля

В первом задании профильного ЕГЭ часто теряются не из-за сложной математики, а из-за спешки, знаков и невнимательного чтения. Здесь важно быстро распознать тип простейшего уравнения, выполнить несколько понятных преобразований и записать ответ. В этом разборе ты увидишь алгоритмы для линейных, квадратных, дробных, показательных и логарифмических уравнений, а затем закрепишь их на практике.

Главная цель — не заучить десятки правил, а научиться задавать себе три вопроса: что неизвестно, какое действие мешает его найти и можно ли выполнить обратное действие. Например, в уравнении x + 7 = 12 достаточно вычесть 7 из обеих частей.

x + 7 = 12
x = 12 − 7
x = 5

Типичная ошибка — переписать число без изменения знака: x − 4 = 9 превращают в x = 13, хотя правильный ответ x = 13 действительно получается только после прибавления 4. Перед отправкой проверь решение подстановкой.

Если хочется увидеть, как устроена экзаменационная практика, загляни в личный кабинет с бесплатными заданиями. А для повторения смежных тем пригодится материал о стереометрии без паники.

Линейные и дробные уравнения

Линейное уравнение содержит неизвестную только в первой степени. Сначала раскрой скобки, затем перенеси слагаемые с x в одну сторону, числа — в другую и раздели на коэффициент перед x. Если в записи есть дробь, удобно умножить обе части на общий знаменатель, но сначала проверь, что знаменатель не равен нулю.

3x − 8 = 16
3x = 24
x = 8

Разберём дробный пример:

x ÷ 4 + 2 = 5
x ÷ 4 = 3
x = 12

Проверка: 12 ÷ 4 + 2 = 5, значит корень найден верно. Если уравнение имеет вид 5x = 0, ответ x = 0, а не 5. Ещё одна распространённая ошибка — при переносе слагаемого менять знак у коэффициента, но забывать менять знак у всего выражения в скобках.

Больше упражнений на преобразования можно найти в бесплатной практике после регистрации.

Квадратные уравнения и корни

Если встречается x², приведи уравнение к виду ax² + bx + c = 0. В простейших случаях помогает разложение на множители или формула корней. Для уравнения x² = 25 обязательно учитывай два значения: x = 5 и x = −5, потому что квадрат каждого из них равен 25.

x² − 9 = 0
x² = 9
x = 3 или x = −3

Если квадрат стоит после скобок, сначала раскрой их:

(x − 2)² = 16
x − 2 = 4 или x − 2 = −4
x = 6 или x = −2

Типичная ошибка — оставить только положительный корень. Другая проблема возникает при извлечении корня из выражения: √(x²) равно |x|, а не всегда x. В школьных заданиях полезно отдельно записать оба варианта и только потом проверить их в исходной записи.

Для систем и неравенств полезно повторить системы неравенств за 9 класс.

Показательные и логарифмические уравнения

В показательных уравнениях постарайся привести обе части к одной основе. Если основания одинаковы, показатели можно приравнять. Например, 2ˣ = 8 превращается в 2ˣ = 2³, поэтому x = 3. В логарифмическом уравнении сначала запиши область допустимых значений: выражение внутри логарифма должно быть больше нуля.

3ˣ = 27
3ˣ = 3³
x = 3

Пример с логарифмом:

log₂(x) = 4
x = 2⁴
x = 16

Проверка области допустимых значений: 16 больше нуля, условие выполнено. Нельзя сокращать или «снимать» логарифм, если основание не указано корректно; также основание должно быть положительным и не равным 1.

Если основания не удаётся сделать одинаковыми, не угадывай ответ по виду. Перенеси всё в одну часть, используй свойства функции или аккуратно проверь несколько допустимых значений. В личном кабинете можно выбрать отдельный набор на этот навык.

Полный разбор задания с решением

Решим уравнение, где неизвестная находится в показателе, но выражение сразу сводится к знакомому основанию. Такой формат хорошо показывает универсальный порядок: заметить структуру, заменить число степенью, сравнить показатели и проверить ответ.

2ˣ⁺¹ = 16
16 = 2⁴
2ˣ⁺¹ = 2⁴
x + 1 = 4
x = 3

Проверим: левая часть равна 2³⁺¹ = 2⁴ = 16, поэтому x = 3 подходит. Ответ записываем кратко: 3. Если бы в условии было 2ˣ⁺¹ = 10, приравнять показатели к 10 нельзя: число 10 не является степенью двойки с очевидным целым показателем. Важно не путать 2ˣ⁺¹ с 2ˣ + 1 — первое выражение означает степень с показателем x + 1.

Перед решением отметь для себя вид задачи: линейная, квадратная, показательная или логарифмическая. Это экономит время и уменьшает число случайных преобразований.

После разбора попробуй решить несколько похожих примеров в бесплатном тренажёре, а затем обязательно сверяй не только ответ, но и место, где возникла ошибка.

Что запомнить

В задании 1 сначала определи тип уравнения. Линейное решай переносом и делением, дробное — после проверки знаменателей, квадратное — с учётом двух корней, показательное — приведением к общей основе, логарифмическое — через область допустимых значений.

Алгоритм: распознать вид → выполнить обратное действие → проверить ОДЗ → подставить ответ

Самые частые потери — неверный знак при переносе, забытый отрицательный корень, смешение 2ˣ⁺¹ и 2ˣ + 1, а также отсутствие проверки допустимости. Записывай преобразования по строкам: так решение становится понятнее и тебе, и проверяющему.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете «Просто Урок». После каждого примера отметь, какой алгоритм применил и почему. Такой короткий разбор превращает отдельную формулу в устойчивый навык.

Не стремись решать быстрее ценой аккуратности: сначала добейся правильного алгоритма, а скорость появится благодаря повторению. Один небольшой набор сегодня полезнее, чем механическое чтение нескольких страниц.