ЕГЭ задание 5: уравнения с корнями и степенями: разбор с решением

1. Что проверяет задание 5

Задание 5 профильного ЕГЭ часто кажется простым: нужно решить уравнение с корнями или степенями и выбрать ответ. Но ошибки появляются из-за ОДЗ, лишних преобразований и невнимательности к знакам. В этом разборе ты научишься видеть структуру уравнения, действовать по шагам и проверять результат без паники. Такой алгоритм полезен и при подготовке в 10 классе, когда базовые свойства степеней и корней только закрепляются.

Сначала определи тип выражения: коренное, степенное или смешанное. Затем выпиши ограничения, упрости обе части и только после этого решай получившееся уравнение. Например:

√(x + 3) = 4
x + 3 = 16
x = 13

Ответ подходит, потому что 13 + 3 ≥ 0. Типичная ошибка — сразу возвести равенство в квадрат, забыв проверить допустимость найденного числа. Полезно повторить и смежные темы: как находить НОД и НОК и внимательно читать формулировки экзамена.

2. Уравнения с квадратным корнем

Главное свойство квадратного корня: √a определён только при a ≥ 0, а сам корень неотрицателен. Поэтому в уравнении √f(x) = g(x) нужны два условия: f(x) ≥ 0 и g(x) ≥ 0. После возведения обеих частей в квадрат обязательно подставь ответ в исходное равенство. Рассмотрим пример:

√(2x − 1) = x − 2
2x − 1 = (x − 2)²
2x − 1 = x² − 4x + 4
x² − 6x + 5 = 0
x = 1 или x = 5

ОДЗ даёт x ≥ 2, поэтому x = 1 сразу исключается. Проверка x = 5: √9 = 3, справа 3, равенство верно. Ответ: 5. Если под корнем стоит произведение или дробь, сначала составь полное ОДЗ, а затем упрощай выражение. Для дополнительной практики можно открыть бесплатные задания в личном кабинете.

3. Степенные уравнения: общий алгоритм

В степенных уравнениях ищи одинаковые основания или одинаковые степени. Если основание положительно и не равно единице, функция aˣ возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1, поэтому равенство степеней позволяет приравнять показатели. Например:

3ˣ⁺¹ = 27
27 = 3³
3ˣ⁺¹ = 3³
x + 1 = 3
x = 2

Здесь преобразование безопасно: основания совпадают и равны 3. Если основания разные, попробуй представить их через общий множитель: 4ˣ = 2²ˣ. В уравнениях вида t² − 5t + 6 = 0 удобно заменить t = 2ˣ, но затем проверь условие t > 0. Типичная ошибка — приравнивать показатели у выражений с основаниями 1 и −1: такие основания ведут себя отдельно. Уравнение 1ˣ = 1 имеет бесконечно много решений, а выражение (−1)ˣ в школьном курсе требует осторожности. Если хочется тренироваться последовательно, зарегистрируйся и решай примеры в личном кабинете.

4. Смешанные уравнения и замена

Когда в задаче встречаются корень и степень, не спеши раскрывать всё сразу. Сначала обозначь повторяющуюся часть новой буквой или преобразуй степени к одному основанию. Например, в уравнении √(x) = 2ˣ нельзя просто приравнять показатели: слева корень связан с основанием x, а справа показатель содержит x. Зато уравнение √(x²) = 3 можно решить через свойство √(x²) = |x|:

|x| = 3
x = 3 или x = −3
Проверка: √9 = 3

Оба числа подходят. Обрати внимание: √(x²) не равно x для отрицательных x, это модуль числа. Ещё один полезный пример: √(x + 1) = √(2x − 3). При неотрицательных подкоренных выражениях можно приравнять их подкоренные части: x + 1 = 2x − 3, откуда x = 4. Проверка подтверждает ответ. Ошибка возникает, когда ученик сокращает корни без ОДЗ или забывает модуль. Для системной подготовки загляни в разбор демоверсии экзамена: навык внимательного чтения нужен в любой части ЕГЭ.

5. Типичные ошибки и проверка

Даже правильный способ легко испортить вычислением. Перед ответом проверь четыре пункта: ОДЗ, знаки, преобразование степеней и подстановку. Возведение в квадрат может добавить посторонний корень. Например:

√(x − 1) = −2
x − 1 = 4
x = 5

После проверки получаем √4 = 2, а справа −2, значит решений нет. Это хороший пример того, почему результат нельзя принимать только после алгебраических преобразований. Другая ошибка — считать, что √(a + b) = √a + √b. Такое равенство обычно неверно: при a = 1 и b = 3 слева √4 = 2, а справа 1 + √3, то есть другое число. Следи также за областью определения дробных степеней и знаменателей. Если получил несколько корней, проверяй каждый отдельно. Полезная привычка — после решения проговорить, какое свойство использовано на каждом шаге. Так ты быстрее заметишь неверное сокращение, потерянный знак или недопустимое значение.

6. Что запомнить

Алгоритм задания 5 можно держать в пяти шагах. Первый: определи тип уравнения. Второй: запиши ОДЗ. Третий: приведи степени к общему основанию или аккуратно избавься от корня. Четвёртый: реши полученное уравнение. Пятый: проверь все найденные значения в исходной записи. Разберём короткий пример:

√(x + 5) = 3
x + 5 = 9
x = 4
Проверка: √9 = 3

Ответ 4 верен. Запомни: √(x²) = |x|, квадратирование может добавить корни, а показательную замену нужно возвращать к переменной x. Типичная ошибка — записать только число без проверки, особенно если в условии есть корень с правой частью. После этого материала зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно: чередуй коренные и степенные уравнения, а ошибки записывай в отдельный список. Так теория постепенно превратится в уверенный навык без механической зубрёжки.