ЕГЭ задание 7: производная и касательная: разбор с решением

Производная и касательная: что проверяет задание 7

В задании 7 профильного ЕГЭ часто теряются не из-за сложной математики, а из-за спешки: нужно быстро увидеть смысл производной, выбрать формулу и не перепутать значение функции с угловым коэффициентом. Здесь разберём алгоритм на понятном примере, чтобы ты мог уверенно решать такие задачи в 10 классе и на экзамене.

Производная функции в точке показывает скорость изменения функции и наклон касательной к графику. Если график возрастает, производная положительна; если убывает — отрицательна. В точке максимума или минимума, когда касательная горизонтальна, производная равна нулю.

f(x) = x³ − 3x² + 2
f′(x) = 3x² − 6x
f′(2) = 12 − 12 = 0

Значит, в точке с абсциссой 2 касательная горизонтальна. Не путай: f(2) — высота точки на графике, а f′(2) — её наклон. Полезно повторить базовую геометрию в материалах «Треугольники за 5 минут».

Главные формулы и алгоритм решения

Касательная к графику y = f(x) в точке с абсциссой x₀ имеет вид: y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀). В этой записи f(x₀) задаёт точку касания по вертикали, а f′(x₀) является угловым коэффициентом прямой. Если требуется найти наклон, достаточно вычислить производную и подставить x₀.

Для простых функций используй правила: производная xⁿ равна n·xⁿ⁻¹, производная постоянной равна нулю, производная суммы равна сумме производных. Например:

f(x) = 4x³ − 5x + 7
f′(x) = 12x² − 5
f′(1) = 12 − 5 = 7

Алгоритм такой: найди производную; определи нужную абсциссу; вычисли f′(x₀); если нужно уравнение касательной, отдельно найди f(x₀), затем собери формулу.

Типичная ошибка — написать f′(x) = 4x² − 5, забыв умножить коэффициент 4 на показатель степени 3. Перед ответом проверь степень и знак каждого слагаемого. После теории можно потренироваться в бесплатной практике в личном кабинете.

Разобранный пример с решением

Рассмотрим задачу: к графику функции f(x) = x² − 4x + 1 в точке с абсциссой x₀ = 3 проведена касательная. Найди её угловой коэффициент и уравнение касательной. Это классический формат, где проверяются и производная, и умение использовать координаты точки.

f(x) = x² − 4x + 1
f′(x) = 2x − 4
f′(3) = 6 − 4 = 2
f(3) = 9 − 12 + 1 = −2
y = −2 + 2·(x − 3)
y = −2 + 2x − 6
y = 2x − 8

Угловой коэффициент равен 2, потому что именно это значение получила производная в точке x₀. Координаты точки касания: (3; −2). Подстановка x = 3 в итоговое уравнение даёт y = 6 − 8 = −2, значит, проверка подтверждает ответ.

Обрати внимание: сначала нашли наклон, затем координату точки. Ошибка — сразу писать y = 2x − 2: число −2 является ординатой точки, а не свободным членом касательной. Если хочешь решить похожие примеры самостоятельно, открой бесплатную практику и проверь решение после попытки.

Как понять условие без лишних вычислений

В задании 7 встречаются разные формулировки. «Найдите значение производной в точке» означает вычислить f′(x₀). «Найдите угловой коэффициент касательной» — это то же самое. «Запишите уравнение касательной» требует ещё найти f(x₀). Если дана уже формула прямой, её коэффициент при x сразу является производной в точке касания.

f(x) = √x + 2x
f′(x) = 1 ÷ (2√x) + 2
f′(4) = 1 ÷ 4 + 2 = 2¼

Здесь производная корня вычисляется по правилу, а затем значение подставляется в точке 4. Типичная ошибка — считать √4 производной функции. Корень появляется только при вычислении самой функции или формулы производной.

Типичные ошибки и самопроверка

Первая ошибка — неверно дифференцировать степень: x⁴ превращают в 4x⁴ вместо 4x³. Вторая — теряют минус перед слагаемым. Третья — подставляют число в исходную функцию, когда требуется производная. Четвёртая — неправильно раскрывают скобки в уравнении касательной.

f(x) = −2x² + 6x − 1
f′(x) = −4x + 6
f′(2) = −8 + 6 = −2
f(2) = −8 + 12 − 1 = 3
y = 3 − 2·(x − 2) = −2x + 7

Проверка проходит в два шага. Во-первых, подставь x₀ в найденную касательную и получи f(x₀). Во-вторых, сравни коэффициент при x с вычисленным значением производной. В примере при x = 2 получаем 3, а коэффициент равен −2 — оба условия выполнены.

Ещё одна частая проблема — арифметика с дробями. Не округляй промежуточные значения: оставляй ⅓ или ¾ до конца, чтобы не потерять точность ответа.

Что запомнить перед практикой

Производная в точке — это угловой коэффициент касательной. Чтобы найти её, сначала дифференцируй функцию, затем подставь нужную абсциссу. Для уравнения касательной нужны две величины: f(x₀) и f′(x₀). Основная формула: y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀).

f(x) = 3x² − 2x + 5
f′(x) = 6x − 2
f′(1) = 4
f(1) = 6
y = 6 + 4·(x − 1) = 4x + 2

Мини-проверка: коэффициент касательной равен 4, а при x = 1 прямая даёт y = 6, как и исходная функция. Если ответ совпал, алгоритм применён верно. Ошибка обычно появляется, когда ученик пропускает вычисление f(x₀) или путает знак.

Закрепи тему не чтением, а действием: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. После каждого ответа сверяй не только результат, но и шаг, на котором возникла ошибка. Так формула превращается в устойчивый навык.