ЕГЭ задание 8: текстовые задачи (движение, работа, проценты): разбор с решением

1. Что проверяет задание 8 ЕГЭ

Текстовые задачи в задании 8 профиля часто пугают не вычислениями, а длинным условием. Нужно понять, что обозначает неизвестная, выбрать формулу и не потерять единицы измерения. Разберём задачи на движение, работу и проценты так, чтобы ты видел знакомый алгоритм даже в новом сюжете.

Начинай с краткой записи. Для движения выпиши скорость, время и расстояние: расстояние = скорость × время. Если участники движутся навстречу, их скорости складываются; если один догоняет другого, берётся разность скоростей. Затем вырази величины через одну переменную и составь уравнение.

Пример: велосипедист ехал 2 ч со скоростью x км/ч, а затем ещё 1 ч со скоростью x + 4 км/ч. Всего он проехал 50 км.
2x + (x + 4) = 50
3x = 46
x = 46 ÷ 3 км/ч

Ответ может получиться дробным — это не ошибка, если условие не требует целого числа. Проверь результат подстановкой: 2 · 46/3 + 50/3 = 50.

Типичная ошибка — складывать не скорости, а времена, когда объекты движутся навстречу. Ещё одна проблема — оставить километры и минуты без перевода. Полезные приёмы для графических зависимостей собраны в разборе задания 18 ЕГЭ.

2. Задачи на совместную работу

В задачах на работу удобно считать не объём работы, а её часть, выполненную за один час. Если мастер выполняет заказ за a часов, его производительность равна 1/a заказа в час. При совместной работе производительности складываются: 1/a + 1/b. После этого время находится как обратная величина полученной скорости выполнения.

Пример: первый рабочий выполняет заказ за 6 дней, второй — за 3 дня. Вместе они работают: 1/6 + 1/3 = 1/2 заказа в день. Значит, весь заказ будет выполнен за 1 ÷ 1/2 = 2 дня.

Если один работал несколько часов отдельно, сначала найди выполненную им часть, а затем составь уравнение для остатка. Например, за 2 дня из шести первый рабочий выполнит 2/6 = 1/3 заказа. Останется 2/3, и это уже совместная часть.

Типичная ошибка — складывать сроки 6 + 3. Сроки не складываются: складываются доли работы. Для дополнительной самостоятельной практики можно открыть бесплатные задания в личном кабинете и сразу проверить вычисления.

3. Проценты, скидки и изменения величин

Процент означает сотую часть величины. Увеличить число на p% — значит умножить его на 1 + p/100, а уменьшить на p% — на 1 − p/100. Это особенно важно, когда изменения происходят последовательно: второй процент считают уже от нового значения, а не от исходного.

Пример: цена товара 2000 рублей. Сначала её уменьшили на 10%, затем увеличили на 10%.
2000 · 0,9 = 1800
1800 · 1,1 = 1980
Итоговая цена на 20 рублей меньше первоначальной.

Если известна конечная цена после скидки, дели её на соответствующий множитель. Например, после скидки 20% товар стоит 1600 рублей: исходная цена равна 1600 ÷ 0,8 = 2000 рублей. Не следует вычитать 20% от конечной суммы: скидка относилась к первоначальной цене.

Задачи о сплавах решаются так же: количество вещества равно масса × доля вещества. В смеси массой m с концентрацией c% чистого вещества будет m · c/100. Полезно повторить базовые сюжеты в материале про проценты и сплавы.

Типичная ошибка — считать последовательные скидку и наценку взаимно уничтожающимися. Они компенсируют друг друга только при специальном пересчёте, а не автоматически.

4. Универсальный алгоритм решения

Перед вычислениями прочитай условие дважды. В первый раз пойми сюжет, во второй отметь числа, единицы и вопрос. Затем введи неизвестную с конкретным смыслом: «x — скорость первого автомобиля» или «x — исходная цена». После этого вырази остальные величины через x.

Пример: расстояние между пунктами 180 км. Автомобиль ехал туда со скоростью x, обратно — на 15 км/ч быстрее. На весь путь ушло 5 часов.
180/x + 180/(x + 15) = 5

После умножения на x · (x + 15) получаем квадратное уравнение. Но перед этим обязательно запиши ограничения: x > 0. Корень, не удовлетворяющий условию, исключается.

Типичная ошибка — сразу раскрывать скобки и терять смысл переменной. Сначала оцени ответ: скорость должна быть положительной, а обратная поездка — быстрее первой. В личном кабинете можно решать похожие варианты бесплатно с постепенной подсказкой.

5. Типичные ошибки и проверка ответа

Самая частая ошибка — неверно составленная модель. Если встречаются километры и минуты, переведи минуты в часы: 30 минут = 0,5 часа. В задачах на работу не путай время выполнения заказа с производительностью. В процентах сначала определи, от какой величины берётся процент.

Пример: в баке было 40 л воды. Из него вылили 25%, затем добавили 6 л. Получили 36 л:
40 · 0,75 + 6 = 36
Если спросили, сколько воды стало относительно исходного количества, вычисляем 36 ÷ 40 · 100% = 90%.

Проверяй не только арифметику, но и смысл. Время не бывает отрицательным, концентрация не превышает 100%, а скорость должна соответствовать расстоянию и длительности поездки. Если получился корень, округляй только тогда, когда это разрешено условием.

Типичная ошибка — записать только число без единицы или выбрать оба корня квадратного уравнения. В экзаменационном ответе оставляй значение, которое подходит сюжету.

6. Что запомнить

В задании 8 не требуется угадывать формулу. Сначала определи тип задачи, затем введи одну неизвестную, вырази связанные величины и составь уравнение. Для движения держи в памяти S = v · t, для работы — долю заказа за единицу времени, для процентов — множитель изменения.

Мини-пример: число увеличили на 30% и получили 78. Исходное число равно 78 ÷ 1,3 = 60.
Проверка: 60 · 1,3 = 78.

После решения сделай быструю проверку: подходят ли единицы, допустим ли ответ, выполняется ли условие при подстановке. Такая привычка помогает заметить ошибку до отправки ответа.

Не пытайся выучить десятки отдельных шаблонов. Лучше реши несколько задач каждого типа и проговори, почему выбрана именно эта модель. Так текст перестаёт выглядеть запутанным, а действия становятся последовательными.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. После каждого ответа отмечай, где возникла трудность: в чтении условия, уравнении или вычислениях.

Типичная ошибка — закончить решение сразу после нахождения числа. Всегда перечитай вопрос: иногда требуется не исходная величина, а разность, сумма, процент или время.