Как решать текстовые задачи на ЕГЭ профиль

1. Как распознать тип задачи

Текстовая задача на ЕГЭ профиль часто пугает несложными вычислениями, а длинным условием и незнакомым сюжетом. Твоя цель — перевести историю на язык величин, связей и уравнений. Ниже разберём универсальный алгоритм, типовые модели и ошибки, чтобы решение начиналось не с догадки, а с понятного плана.

Сначала выпиши, что известно и что требуется найти. Затем обозначь неизвестное переменной, выбери единицы измерения и установи связь между величинами. В задачах на движение работает формула: расстояние = скорость × время. В задачах на работу результат зависит от производительности и времени, а в процентах важно понять, от какой величины считается процент.

Пример: поезд прошёл 180 км со скоростью 60 км/ч
t = 180 ÷ 60 = 3 ч
Ответ: 3 часа

Проверь, соответствует ли ответ вопросу: иногда находят не весь путь, а только часть, не время, а скорость. Полезно также повторить базовые вычисления в материале «Сложение и вычитание столбиком».

Типичная ошибка — сразу составлять уравнение, не договорившись, что обозначает переменная. Запиши это словами: «пусть x — скорость первого автомобиля». Так легче заметить неверный знак, единицы или лишнее решение.

2. Алгоритм составления уравнения

Удобный алгоритм состоит из пяти шагов. Прочитай условие полностью, выдели числа и вопрос. Обозначь неизвестную величину. Вырази через неё остальные данные. Составь равенство по главной связи задачи. Реши уравнение и выполни проверку по смыслу.

Например, вторая цена на 20 рублей больше первой, а за определённое количество предметов заплатили 460 рублей. Если количество равно 10, получаем: 10x + 10(x + 20) = 460. Здесь каждое слагаемое обозначает стоимость отдельной группы товаров, поэтому модель легко проверить.

10x + 10(x + 20) = 460
20x + 200 = 460
x = 13
Вторая цена: 13 + 20 = 33 рубля

Если ответ получается отрицательным для цены, расстояния или времени, ищи ошибку в модели, а не пытайся принять результат. Отдельно проверь скобки: увеличение на 20% означает умножение на 1,2, а уменьшение на 20% — на 0,8.

Типичная ошибка — считать проценты от новой величины, хотя в условии нужен первоначальный показатель. Перед решением подчеркни слова «от исходной цены», «после повышения» или «на сколько процентов».

3. Задачи на движение и работу

В задачах на движение сначала приведи все скорости к одной единице. Если скорость дана в километрах в час, время должно быть в часах. При встречном движении скорости складываются, при движении в одном направлении разность скоростей показывает, как быстро сокращается расстояние.

Разберём задачу полностью. Из пунктов, расстояние между которыми 180 км, одновременно навстречу друг другу выехали автомобили. Скорость первого на 15 км/ч больше скорости второго, а встретились они через 2 часа. Пусть скорость второго равна x км/ч. Тогда скорость первого — x + 15.

2x + 2(x + 15) = 180
4x + 30 = 180
4x = 150
x = 37,5 км/ч
x + 15 = 52,5 км/ч
Проверка: 2 · 37,5 + 2 · 52,5 = 180

Ответы положительны и дают исходное расстояние, значит, модель верна. В задачах на работу аналогично складывают производительности: если один мастер выполняет ⅓ заказа за час, его производительность равна ⅓.

Типичная ошибка — складывать времена вместо производительностей. Время совместной работы не равно сумме отдельных времён. Для закрепления можно решить несколько заданий в бесплатной практике в личном кабинете.

4. Проценты, смеси и средние величины

В процентных задачах полезно заменить процент десятичным множителем. Повышение на p% — это умножение на 1 + p ÷ 100, снижение — на 1 − p ÷ 100. Два последовательных изменения нельзя просто складывать: второе происходит уже с изменённой величиной.

Пример: товар стоил 800 рублей, затем цену повысили на 25%, а после снизили на 20%. Итоговая цена равна 800 · 1,25 · 0,8 = 800 рублей. Цена вернулась к исходной, хотя проценты повышения и снижения различаются.

800 · 1,25 = 1000
1000 · 0,8 = 800
Итог: 800 рублей

В задачах на смеси составляют равенство для количества вещества: масса смеси × доля вещества. Если смешали x килограммов раствора с концентрацией 10% и 4 килограмма раствора с концентрацией 25%, количество соли равно 0,1x + 1.

Среднее арифметическое находят делением суммы значений на их количество, но средняя скорость считается иначе: весь путь делят на всё время. Типичная ошибка — усреднить две скорости без учёта времени движения. После разбора попробуй сохранить решение и потренироваться в личном кабинете.

5. Как проверить решение и избежать ошибок

Проверка начинается с области допустимых значений. Время, масса, цена и расстояние не бывают отрицательными. Знаменатель не может быть равен нулю, а количество предметов часто должно быть целым. Если корень уравнения не подходит по смыслу, его нужно исключить, даже когда алгебраически он найден правильно.

Если x = 6 и стоимость одного предмета x + 4:
6 · 10 = 60
Проверка: условие об общей стоимости должно давать 60

Типичная ошибка — записать только число без единицы или ответить не на тот вопрос. В конце перечитай последнюю строку условия и сформулируй ответ словами. Если задача требует количество, не оставляй только найденную цену.

Ещё одна полезная привычка — оценивать результат заранее. Если расстояние около 200 км, а скорость около 50 км/ч, время должно быть примерно 4 часа, а не 40 минут.

6. Что запомнить

Текстовая задача решается не угадыванием формулы, а переводом условия в понятную математическую модель. Выпиши данные, обозначь неизвестное, приведи единицы к общим, вырази связанные величины и составь уравнение. После решения обязательно проверь ответ по условию и здравому смыслу.

Для движения используй связь расстояния, скорости и времени. Для совместной работы складывай производительности. Для процентов следи за базовой величиной. Для смесей составляй баланс вещества. Если сюжет кажется сложным, нарисуй схему, таблицу или короткую последовательность действий.

План решения:
условие → переменная → модель → уравнение → проверка → ответ

Например, если после вычислений получено время 3 часа, проверь, что скорость × время действительно даёт весь путь. Такая обратная проверка занимает немного времени, но помогает обнаружить неверный знак или пропущенный множитель.

Типичная ошибка — бросить решение после найденного корня. Сначала сравни его с ограничениями, затем запиши полный ответ. Зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно, чтобы закрепить алгоритм в личном кабинете.