Тригонометрические неравенства: задачи с решениями

Тригонометрические неравенства: с чего начать

Уравнение sin x = ½ ты решаешь за минуту, а стоит увидеть sin x ≥ ½ — и рука замирает над тетрадью. Знакомая история для 10 класса: точки на окружности отмечать умеем, а выбрать нужную дугу и аккуратно записать ответ — уже нет. Хорошая новость: здесь работает один и тот же алгоритм, и после пяти-шести задач он становится автоматическим.

Разберём тему по шагам: как устроен метод единичной окружности, как оформить полное решение, какие ошибки встречаются чаще всего и как закрепить навык. Все примеры — уровня школьной программы и профильного экзамена, где тригонометрические неравенства встречаются в заданиях с отбором корней.

Смежная тема, с которой часто начинается путаница в формулах, — вероятность. Если нужен спокойный разбор с нуля, посмотри статью «Не понимаю вероятность»: там тот же принцип — сначала схема, потом вычисления.

Метод единичной окружности: алгоритм из четырёх шагов

Базовый вид неравенства: sin x ≥ a, cos x ≤ a, tg x > a, где a — число. Решение всегда живёт на единичной окружности, а не в голове.

Шаг 1. Приводим неравенство к простейшему: убираем коэффициенты, переносим числа в правую часть.
Шаг 2. Отмечаем граничные точки — те углы, где функция равна a.
Шаг 3. Выбираем дугу с подходящим знаком. Для sin смотрим на ординату (ось y), для cos — на абсциссу (ось x).
Шаг 4. Идём по дуге против часовой стрелки: от меньшего угла к большему, и прибавляем период.

Готовые шаблоны:
sin x ≥ a → x ∈ [arcsin a + 2πk; π − arcsin a + 2πk]
cos x ≥ a → x ∈ [−arccos a + 2πk; arccos a + 2πk]
tg x ≥ a → x ∈ [arctg a + πk; π/2 + πk)

Полный разбор одного неравенства

Решим аккуратно, со всеми переходами: 2 sin(2x + π/6) ≤ −1.

2 sin(2x + π/6) ≤ −1
sin(2x + π/6) ≤ −½
Замена: t = 2x + π/6, тогда sin t ≤ −½
Границы на окружности: t = −5π/6 и t = −π/6
Нужная дуга: t ∈ [−5π/6 + 2πk; −π/6 + 2πk]
Обратная замена:
−5π/6 + 2πk ≤ 2x + π/6 ≤ −π/6 + 2πk
−5π/6 − π/6 + 2πk ≤ 2x ≤ −π/6 − π/6 + 2πk
−π + 2πk ≤ 2x ≤ −π/3 + 2πk
−π/2 + πk ≤ x ≤ −π/6 + πk

Ответ: x ∈ [−π/2 + πk; −π/6 + πk], k ∈ ℤ. Проверка: при x = −π/3 получаем 2x + π/6 = −π/2, sin(−π/2) = −1, и −1 ≤ −½ — верно.

Обрати внимание на два места. Знак ≤ сохранился, потому что делили на положительное число 2. А период поменялся: шаг 2πk после деления на 2 превратился в πk. Именно на этом теряется половина ответов.

Типичные ошибки и таблица-шпаргалка

Три ошибки встречаются в каждой второй работе.

Не та дуга. Точки отмечены верно, а промежуток заштрихован с противоположной стороны. Лечится проверкой: подставь любую точку внутрь дуги и посчитай знак.

Забытый период. Для sin и cos период 2π, для tg и ctg — π. Без «+ 2πk» или «+ πk» решение неполное.

Деление на коэффициент. В примере выше после деления на 2 меняются и границы, и период. Если поделить только границы, ответ сузится.

Хочешь проверить себя сразу — открой личный кабинет и реши пару неравенств с автопроверкой.

Практика: задания сложнее базовых

Когда простейшие неравенства идут легко, добавляй сложность.

Замена переменной. 2 sin²x + sin x − 1 < 0. Обозначаем t = sin x, получаем 2t² + t − 1 < 0 → (2t − 1)(t + 1) < 0 → −1 < t < ½. Помним про ограничение −1 ≤ t ≤ 1, значит sin x < ½ и одновременно sin x > −1. Решение — два промежутка на окружности.

Двойное неравенство. Запись вида −½ ≤ cos 3x ≤ √3/2 решается как система из двух простых неравенств, после чего промежутки пересекаются.

Тангенс и ОДЗ. Для tg x ≥ a обязательно cos x ≠ 0, поэтому граница π/2 + πk в ответ не входит — скобка круглая.

Если пока тяжело, тренируйся по шаблону: бесплатная практика в личном кабинете идёт от простого к сложному и разбирает каждую ошибку. А чтобы увидеть, где тригонометрия работает в задачах с графиками и колебаниями, загляни в разбор демоверсии по физике.

Что запомнить

Короткая выжимка, которую стоит забрать с собой:

— любое тригонометрическое неравенство сводится к простейшему;
— дуга выбирается по окружности: для sin — по оси y, для cos — по оси x;
— период 2πk для sin и cos, πk для tg и ctg;
— при делении на коэффициент меняются и границы, и период;
— проверка контрольной точкой занимает десять секунд и спасает от неверной дуги.

Дальше работает только практика. Зарегистрируйся в личном кабинете «Просто Урок», реши 5 заданий на тригонометрические неравенства бесплатно и посмотри разбор своих ошибок. После этого тема перестанет казаться страшной, а ответы будут записываться на автомате.