ЕГЭ задание 11: графики функций

Как устроено задание 11

Графики функций в задании 11 часто пугают не сложностью, а спешкой: нужно быстро увидеть точку, промежуток или знак выражения. Если действовать по алгоритму, рисунок превращается в понятную схему, а решение занимает минимум записей. Сначала внимательно прочитай, что требуется найти: значение функции, число корней, промежуток возрастания или знак произведения.

На графике функции y = f(x) горизонтальная координата показывает x, а вертикальная — значение f(x). Точка пересечения с осью Ox означает f(x) = 0, пересечение с осью Oy — значение функции при x = 0.

Пример:
график проходит через точку (3; −2)
значит, f(3) = −2

Сначала найди нужную координату, затем проверь масштаб клеток и только после этого выбирай ответ. Типичная ошибка — перепутать x и y или считать деления, не заметив, что одна клетка может означать две единицы.

Перед практикой полезно повторить базовые понятия в материале «Модуль числа простыми словами»: знак и расстояние на координатной прямой понадобятся при чтении графика.

Значение функции по графику

Чтобы найти f(a), на оси Ox отмечают число a, проводят мысленно вертикаль до графика, а затем считывают высоту точки по оси Oy. Если вертикаль не пересекает график, значение функции при таком x не определено. Если пересечений несколько, перед тобой не график функции на этом участке или требуется посчитать точки отдельно.

Пример:
при x = 2 график имеет точку с координатами (2; 4)
следовательно, f(2) = 4

Если спрашивают f(2) − 3, сначала считай значение функции, а потом выполни действие: 4 − 3 = 1. Не подставляй число 2 вместо f(2): это разные величины.

Удобная проверка — представить ответ как координату точки: первая координата должна совпадать с заданным аргументом, вторая — с найденным значением.

Типичная ошибка — читать координату по наклонной линии «на глаз», не проводя вертикаль и горизонталь. В сложном рисунке это приводит к неверному ответу даже при правильном понимании темы.

Нули и промежутки знакопостоянства

Нули функции — значения x, при которых график пересекает или касается оси Ox. Для промежутков знакопостоянства нужно определить, где график расположен выше оси: там f(x) > 0. Ниже оси функция отрицательна: f(x) < 0. Точки пересечения с осью обычно не включают в промежуток, потому что в них значение равно нулю.

Пример:
график пересекает Ox в точках x = −2 и x = 5
выше оси он расположен при x < −2 и x > 5
ниже оси — при −2 < x < 5

Если график касается оси и возвращается в ту же полуплоскость, знак может не измениться. Поэтому важно смотреть не только на саму точку, но и на участки слева и справа от неё.

Связь с координатной прямой удобно повторить в статье «НОД и НОК: как находить»: навыки работы с интервалами и делениями помогают аккуратно записывать ответ.

Типичная ошибка — включить ноль в промежуток положительных или отрицательных значений. Сначала поставь открытые границы, а затем проверь знак на каждом участке.

Возрастание, убывание и экстремумы

Функция возрастает, если при движении слева направо график поднимается. Она убывает, если график опускается. В задании могут спросить промежуток возрастания, точку максимума или количество точек экстремума. Смотри именно на направление движения, а не на наклон картинки относительно страницы.

Пример:
график поднимается от x = −3 до x = 1
значит, функция возрастает на промежутке (−3; 1)
после x = 1 график снижается — функция убывает

В точке, где подъём сменяется спуском, находится максимум. В точке, где спуск сменяется подъёмом, находится минимум. Концы изображённого участка не всегда являются экстремумами: для вывода нужно видеть смену направления.

Ошибка — читать график справа налево или называть максимумом самую высокую видимую точку без проверки соседних участков.

Как решать задание по алгоритму

Универсальный порядок помогает не потерять балл из-за невнимательности. Первый шаг — прочитай вопрос и подчеркни ключевое слово: «значение», «нули», «возрастает», «наибольшее». Второй — определи нужную ось и масштаб. Третий — отметь все важные точки. Четвёртый — запиши ответ в требуемом формате.

Разобранный пример:
по графику нужно найти f(−1) + f(3)
при x = −1 график даёт y = 2, значит, f(−1) = 2
при x = 3 график даёт y = −1, значит, f(3) = −1
f(−1) + f(3) = 2 + (−1) = 1

Здесь сначала считаны два значения, затем выполнено действие. Скобки около отрицательного числа помогают не ошибиться со знаком.

Если рисунок размытый, ориентируйся на отмеченные деления и целые координаты, а не на толщину линии. Типичная ошибка — сразу складывать координаты точек, хотя требуется сложить значения функции.

После разбора можно открыть бесплатную практику в личном кабинете и проверить, насколько уверенно ты читаешь разные графики.

Что запомнить перед экзаменом

Главное правило: x ищут по горизонтали, f(x) — по вертикали. Нули находятся на оси Ox, положительные значения — выше неё, отрицательные — ниже. Возрастание определяют движением слева направо. Точки пересечения с осью при записи промежутков обычно не включают.

Мини-проверка:
точка (−2; 5) означает f(−2) = 5
точка (4; 0) означает, что x = 4 — ноль функции
график снижается слева направо — функция убывает

Перед отправкой ответа проверь масштаб, знаки и границы промежутков. Не торопись угадывать по форме линии: задание проверяет чтение координат, а не художественное восприятие рисунка.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно: так ты закрепишь алгоритм на практике и увидишь, где ещё нужна тренировка.