ЕГЭ задание 12: исследование функций (производная): разбор с решением

Что проверяет задание 12 ЕГЭ

Задание 12 профильного ЕГЭ часто кажется большим: нужно исследовать функцию, найти промежутки монотонности, экстремумы и выбрать верное утверждение. На самом деле алгоритм повторяется почти всегда. В этой статье ты разложишь решение по шагам, увидишь полный пример и научишься замечать ловушки. Такой формат помогает спокойно тренироваться самостоятельно, а затем проверять себя в личном кабинете с бесплатной практикой.

Главный инструмент — производная. Если f′(x) больше нуля на промежутке, функция возрастает, если меньше нуля — убывает. Нули производной и точки, где она не существует, делят область определения на интервалы.

Пример:
f(x) = x² − 4x + 1
f′(x) = 2x − 4
f′(x) = 0 при x = 2

Точка x = 2 сама по себе ещё не является максимумом или минимумом. Нужно определить знаки производной слева и справа. Типичная ошибка — сразу назвать ноль производной экстремумом, не составив знаковую схему. Также не путай значение аргумента и значение функции: x = 2, а f(2) = −3.

Для повторения вычислений с дробями пригодится материал про проценты и преобразования выражений: уверенная арифметика заметно сокращает время на экзамене.

Алгоритм исследования функции

Сначала найди область определения. Для дроби знаменатель не равен нулю, для квадратного корня подкоренное выражение неотрицательно, а для логарифма его аргумент положителен. Затем вычисли производную и реши неравенство f′(x) > 0 или f′(x) < 0.

Нанеси найденные точки на числовую прямую и расставь знаки производной. По знакам сделай вывод о монотонности. Переход «плюс → минус» означает максимум, а «минус → плюс» — минимум. После этого проверь, какое утверждение соответствует результату.

Пример:
f(x) = x³ − 3x²
f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2)
Критические точки: x = 0 и x = 2
Знаки: +, −, +
Возрастает на (−∞; 0) и (2; +∞), убывает на (0; 2)

Здесь x = 0 — максимум, а x = 2 — минимум. Ошибка возникает, если раскрыть производную неверно или забыть точку x = 0. Не исключай критические точки только потому, что они не входят в ответный промежуток: именно они меняют поведение функции.

Если в задании встречаются системы условий или пересечение промежутков, повтори тему в статье про системы неравенств.

Как читать знаки производной

Знаковая таблица делает решение наглядным. В верхней строке укажи критические точки, а в каждой следующей строке — знак множителя производной. Итоговый знак получай умножением знаков. Для произведения двух линейных множителей удобно проверять по одной точке из каждого промежутка.

Пример:
f′(x) = (x + 1)(x − 3)
x = −1 и x = 3
При x = −2: (−)(−) = +
При x = 0: (+)(−) = −
При x = 4: (+)(+) = +

Значит, в точке −1 функция переходит от возрастания к убыванию и имеет максимум, а в точке 3 — минимум. Типичная ошибка — менять знак каждого множителя, но не перемножать результаты. Если корень имеет чётную кратность, знак может не измениться, поэтому одну проверку слева и справа всё равно полезно выполнить.

Чтобы закрепить таблицы без перегрузки, можно открыть бесплатную практику в личном кабинете и решать задания небольшими сериями.

Полный разбор задания с решением

Рассмотрим функцию и найдём промежутки её возрастания и убывания. Важно не пропускать область определения и проверять знаки именно на промежутках, а не только в критических точках.

Задание: исследовать f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2.
1. Область определения: все действительные числа.
2. f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3).
3. Критические точки: x = 1 и x = 3.
4. На (−∞; 1): f′(x) > 0, функция возрастает.
5. На (1; 3): f′(x) < 0, функция убывает.
6. На (3; +∞): f′(x) > 0, функция возрастает.
7. В x = 1 максимум: f(1) = 6.
8. В x = 3 минимум: f(3) = 2.

Теперь можно выбрать утверждение: функция возрастает при x < 1 и x > 3, убывает при 1 < x < 3. Полезно отдельно вычислить значения в экстремумах, если спрашивают именно точки графика.

Ловушка — перепутать порядок: максимум находится в точке 1, но значение максимума равно 6. Не называй числом 6 аргумент экстремума.

Типичные ошибки и проверка ответа

Первая ошибка — неверная область определения. Например, у функции 1 ÷ (x − 2) нельзя рассматривать x = 2. Вторая — потеря множителя при дифференцировании. Для x³ производная равна 3x², а не x². Третья — неправильная интерпретация знака: f′(x) < 0 означает убывание, а не отрицательные значения самой функции.

Пример:
f(x) = 1 ÷ (x − 2) + x
Область определения: x ≠ 2
f′(x) = 1 − 1 ÷ (x − 2)²
f′(x) = 0 при (x − 2)² = 1
x = 1 и x = 3

Точка x = 2 разделяет область определения, хотя производная там также не существует. Поэтому промежутки нужно рассматривать отдельно: (−∞; 1), (1; 2), (2; 3), (3; +∞). Подставь по одному числу в каждый промежуток и только затем делай вывод.

Не округляй промежуточные значения без необходимости. Точный ответ удобнее сравнивать с вариантами, особенно когда появляются корни и дроби.

Что запомнить

Задание 12 решается по устойчивому плану. Найди область определения, вычисли производную, реши f′(x) = 0, добавь точки разрыва или отсутствия производной, расставь знаки и переведи их в свойства функции. Переход «плюс → минус» даёт максимум, «минус → плюс» — минимум.

Мини-шпаргалка:
f′(x) > 0 → функция возрастает
f′(x) < 0 → функция убывает
+ → − → максимум
− → + → минимум

После решения обязательно перечитай формулировку: спрашивают промежуток, точку экстремума, значение функции или число критических точек. Это разные ответы. Зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете, а затем разбери ошибки по тому же алгоритму.