ЕГЭ задание 12: исследование функций (производная)

Что проверяет задание 12 ЕГЭ

Производная в задании 12 кажется сложной, когда график, формулы и промежутки смешиваются в одном условии. На самом деле нужно последовательно определить область определения, найти производную, изучить её знак и сделать вывод о поведении функции. Этот алгоритм помогает не угадывать ответ по рисунку, а уверенно обосновывать каждое утверждение.

Чаще всего спрашивают промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, максимум или минимум функции. Иногда требуется определить число решений уравнения по графику производной. Сначала выпиши критические точки: значения x, где f′(x) = 0 или производная не существует. Затем расставь знаки производной на промежутках.

Если f′(x) > 0, функция возрастает; если f′(x) < 0, убывает. Переход знака «плюс → минус» означает максимум, а «минус → плюс» — минимум. Для повторения чтения графиков пригодится разбор диаграмм и графиков.

Пример: f′(x) = 0 при x = 2
f′(x) > 0 слева и f′(x) < 0 справа
x = 2 — точка максимума

Типичная ошибка — называть точку экстремума значением функции. Правильно: точка имеет координаты (2; f(2)), а значение максимума равно f(2).

Алгоритм исследования функции

Начинай с области определения. Для дроби знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение чётной степени неотрицательно, а аргумент логарифма положителен. После этого найди производную и упрости её настолько, чтобы знак было легко определить. Нули числителя и знаменателя производной отметь на числовой прямой.

Раздели область определения этими точками. На каждом промежутке установи знак f′. Если выражение содержит произведение множителей, удобно составить таблицу знаков. Точки, не входящие в область определения, не могут быть экстремумами функции, даже если рядом меняется знак производной.

Пример: f′(x) = (x − 1)(x + 3)
Критические точки: −3 и 1
Знаки: +, −, +
Максимум при x = −3, минимум при x = 1

Не перепутай порядок: сначала производная и её знаки, затем вывод о функции. Бесплатная практика в личном кабинете поможет закрепить именно эту последовательность.

Разобранный пример с производной

Рассмотрим функцию f(x) = x³ − 3x² + 2. Найдём промежутки монотонности и точки экстремума. Область определения — все действительные числа, поэтому дополнительных ограничений нет. Производная многочлена находится по правилу степени: показатель умножается на коэффициент, а степень уменьшается на единицу.

f(x) = x³ − 3x² + 2
f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2)
f′(x) = 0 при x = 0 и x = 2
x: (−∞; 0) | 0 | (0; 2) | 2 | (2; +∞)
f′: + | 0 | − | 0 | +
f: возрастает | максимум | убывает | минимум | возрастает
f(0) = 2, f(2) = −2

Ответ: функция возрастает на (−∞; 0) и (2; +∞), убывает на (0; 2). Точка максимума — (0; 2), точка минимума — (2; −2). Важно отличать абсциссы экстремумов 0 и 2 от значений функции 2 и −2.

Производная по графику

В некоторых вариантах формула функции не дана: нужно прочитать график f′. Здесь не требуется вычислять производную. Найди точки пересечения графика с осью Ox и посмотри, где линия расположена выше или ниже этой оси. Выше оси производная положительна, ниже — отрицательна.

Если график касается оси и не меняет знак, экстремума функции в этой точке нет. Например, f′(x) может быть положительной слева и справа от нуля, хотя в самой точке равна нулю. Тогда функция продолжает возрастать, а точка называется стационарной, но не экстремальной.

Пример по графику f′:
f′(x) < 0 при x < −1
f′(x) > 0 при −1 < x < 3
f′(x) < 0 при x > 3
x = −1 — минимум, x = 3 — максимум

Смотри на открытые и закрашенные точки: разрыв графика может означать, что значение производной не определено. Не переноси автоматически координаты графика f′ в график f: они описывают разные величины.

Для тренировки графического мышления можно обратиться к материалу о кубе и параллелепипеде: чтение схем тоже требует внимательного анализа обозначений.

Типичные ошибки и как их избежать

Первая ошибка — неверно производить дробь или степень. Если f(x) = 1/x, то f′(x) = −1/x², а не 1/x². Вторая — забывать скобки при сложной функции: для f(x) = (2x − 1)³ производная равна 6(2x − 1)². Третья — терять ограничения области определения.

Четвёртая ошибка связана с таблицей: школьник находит нули производной, но не проверяет знак на промежутках. Выбери по одной контрольной точке и подставь её в f′. Если множителей много, учитывай, что знак произведения меняется при переходе через корень нечётной кратности.

Пример: f′(x) = (x − 4)²(x + 1)
x = 4 — корень чётной кратности
знак около x = 4 не меняется
x = −1 — корень нечётной кратности
знак меняется только при x = −1

Значит, точка x = 4 не является экстремумом только из-за нулевой производной. Перед сдачей ответа проверь: указаны ли промежутки, не включены ли критические точки в интервалы и совпадает ли направление с таблицей.

Если хочется получать обратную связь по решениям, используй бесплатную практику в кабинете: после каждого задания возвращайся к месту, где появилась ошибка, а не просто переписывай ответ.

Что запомнить

Производная показывает скорость изменения функции. Положительная производная означает возрастание, отрицательная — убывание. Для исследования найди область определения, вычисли f′, отметь её нули и точки разрыва, расставь знаки, а затем сделай вывод о промежутках и экстремумах.

Максимум возникает при переходе знака производной с плюса на минус, минимум — с минуса на плюс. Равенство f′(x) = 0 является только кандидатом на экстремум. По графику производной действуй так же: сравнивай положение кривой с осью Ox и отслеживай смену знака.

Короткая памятка:
f′ > 0 → функция возрастает
f′ < 0 → функция убывает
+ → − → максимум
− → + → минимум

Типичная финальная ошибка — записать только координату x, хотя вопрос просит значение функции, или наоборот. Внимательно читай формулировку. Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно, сверяя каждый ответ с алгоритмом.