ЕГЭ задание 14: стереометрия (метод координат)

1. Зачем нужен метод координат

Стереометрия в задании 14 часто кажется объёмной головоломкой: много рёбер, углов и плоскостей, а на чертеже легко потерять нужный элемент. Метод координат превращает пространственную картинку в понятный алгоритм. Ты выбираешь систему координат, находишь координаты точек, а затем считаешь расстояния, скалярные произведения и уравнения прямых. В этом материале разберём, как действовать последовательно и не перегружать решение лишними построениями.

Обычно удобнее расположить основание фигуры в плоскости Oxy, а высоту направить вдоль оси Oz. Тогда точка основания имеет третью координату 0, а вершина над ним — одинаковые первые две координаты и ненулевую высоту.

A(0; 0; 0), B(а; 0; 0), C(а; b; 0)
S(0; 0; h)
AB = √((а − 0)² + 0² + 0²) = а

Например, если нужно найти длину диагонали, просто вычитаем координаты концов и применяем формулу расстояния. Типичная ошибка — забыть третью координату или перепутать знак разности. Для спокойной тренировки после разбора можно открыть бесплатную практику в личном кабинете.

2. Координаты точек и векторы

Первый шаг решения — выбрать начало координат и подписать оси. Лучше использовать симметрию: центр основания сделать началом, а вертикальную ось направить к вершине. После этого координаты часто находятся без вычислений. Вектор AB получают вычитанием координат конца и начала: AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁).

Длина вектора считается так: √(x² + y² + z²). Для угла между векторами применяют скалярное произведение: a · b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. Если произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.

A(1; 2; 0), B(4; 6; 0)
AB = (3; 4; 0)
|AB| = √(3² + 4²) = 5
AB · AC = 0 → AB ⟂ AC

Например, координаты середины отрезка получают усреднением соответствующих координат его концов. Ошибка — складывать координаты одного конца с координатами другого без деления на 2. Если хочется закрепить вычислительные навыки, используй личный кабинет с бесплатными заданиями.

3. Расстояние и угол в пространстве

В задании 14 могут попросить найти расстояние между точками, угол между прямыми или угол между прямой и плоскостью. Расстояние между точками находят непосредственно по координатам. Для угла между прямыми берут направляющие векторы и используют формулу cos α = |a · b| ÷ (|a| · |b|). Модуль нужен потому, что угол обычно выбирают острый.

Если требуется расстояние от точки до плоскости, сначала составляют уравнение плоскости. Для плоскости Ax + By + Cz + D = 0 расстояние от точки P(x₀; y₀; z₀) равно модулю выражения Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D, делённому на √(A² + B² + C²).

P(1; 2; 3), плоскость 2x − y + 2z − 6 = 0
d = |2 · 1 − 2 + 2 · 3 − 6| ÷ √(2² + (−1)² + 2²)
d = 0 ÷ 3 = 0

Здесь точка лежит на плоскости. Типичная ошибка — подставить координаты без скобок или забыть модуль. Перед ответом проверь, что расстояние неотрицательно, а значение косинуса находится от −1 до 1.

4. Полностью разобранный пример

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ с рёбрами AB = 3, AD = 4, AA₁ = 12. Найдём расстояние от точки A до прямой B₁D. Выберем A(0; 0; 0), B(3; 0; 0), D(0; 4; 0), A₁(0; 0; 12). Тогда B₁(3; 0; 12), D(0; 4; 0).

Направляющий вектор B₁D = (−3; 4; −12)
Вектор B₁A = (−3; 0; −12)
|B₁D| = √(9 + 16 + 144) = 13
|B₁A × B₁D| = 52
ρ = |B₁A × B₁D| ÷ |B₁D| = 52 ÷ 13 = 4

Значит, искомое расстояние равно 4. Векторное произведение здесь удобно использовать как площадь параллелограмма на двух векторах: высота к стороне B₁D и есть расстояние от A до прямой.

Типичная ошибка — взять расстояние от A до точки B₁ или D. Это длина отрезка, а не кратчайшее расстояние до всей прямой. Для дополнительной практики можно решить похожие задачи через бесплатную подборку в аккаунте.

5. Алгоритм и типичные ошибки

Решение удобно оформлять по короткому плану. Сначала выбери систему координат и выпиши координаты вершин. Затем определи, что требуется: длина, угол, расстояние или проверка перпендикулярности. После этого составь нужные векторы, подставь данные и сократи вычисления. В конце обязательно оцени ответ: длина не бывает отрицательной, а расстояние не может превышать очевидную длину подходящего отрезка.

Например, для отрезков с векторами (1; 2; 2) и (2; −1; 0) произведение равно 0, значит они перпендикулярны. Ошибка — считать нулевым только один из трёх вкладов.

Полезно повторить и арифметику с дробями: материал о сложении и вычитании дробей поможет не терять баллы на преобразованиях.

6. Что запомнить

Метод координат строится на трёх опорах: удачный выбор осей, аккуратные координаты и подходящая формула. Для длины используй разность координат, для угла — скалярное произведение, для расстояния до плоскости — её уравнение и формулу от точки до плоскости. Если встречается расстояние до прямой, ищи перпендикуляр или применяй векторное произведение.

Точка → координаты
Два конца → вектор
Вектор → длина или скалярное произведение
Проверка знаков → корректный ответ

Например, перед сдачей решения быстро проверь координаты, размерность векторов и знак каждого слагаемого. Частая ошибка — начать считать без схемы и получить красивое, но нерелевантное число. Зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно: так ты увидишь, какой шаг требует повторения.

А если нужно освежить смежные вычислительные темы, загляни в материал о типичных ошибках на ОГЭ: навык проверки решения полезен на любом экзамене.