ЕГЭ задание 15: неравенство

Что это за задание и почему за него дают два балла

Решаешь уравнения легко, а над неравенством зависаешь и теряешь балл из-за забытого ОДЗ — знакомая картина? Задание 15 в профильном ЕГЭ проверяет не скорость счёта, а аккуратность перехода от строки к строке. Хорошая новость: приёмов здесь немного, и за пару недель их реально довести до автоматизма.

Формально перед тобой неравенство, которое нужно решить и записать множество решений. Чаще всего это показательные, логарифмические и дробно-рациональные конструкции, иногда они объединены в одну задачу. Дополнительный вопрос может звучать так: «найдите количество целых решений» или «найдите наибольшее целое решение». Ответ оформляют промежутками, реже — одним числом. За верное решение дают 2 первичных балла, а снимают их за потерянное ограничение или неверно раскрытый знак.

Повторить стоит свойства степеней и логарифмов, метод интервалов, замену переменной и область допустимых значений. Если хочется переключиться и подтянуть планиметрию, открой разбор свойств равнобедренного треугольника — ../articles/ravnobedrennyy-treugolnik-svoystva.html.

Три инструмента, которые решают почти всё

Почти все задания 15 собираются из комбинации трёх приёмов. Первый — равносильные переходы: каждое действие должно сохранять множество решений. Второй — замена переменной, которая превращает показательное или логарифмическое неравенство в обычное квадратное. Третий — метод интервалов, он спасает в дробно-рациональных и смешанных случаях.

Перед решением выпиши ОДЗ отдельной строкой: это минута работы, которая экономит балл. Дальше действуй по таблице — определи вид неравенства, выбери приём и следи за знаком. Поупражняться на коротких наборах заданий можно бесплатно в личном кабинете: начать практику.

Полный разбор одного неравенства

Возьмём типичный пример и оформим его так, как стоит делать на экзамене.

log₂(x − 1) + log₂(x + 2) ≤ 2
ОДЗ: x − 1 > 0, x + 2 > 0 → x > 1
log₂((x − 1)(x + 2)) ≤ log₂ 4
основание 2 > 1, значит знак сохраняется:
(x − 1)(x + 2) ≤ 4
x² + x − 2 − 4 ≤ 0
x² + x − 6 ≤ 0
(x + 3)(x − 2) ≤ 0 → −3 ≤ x ≤ 2
пересекаем с ОДЗ: 1 < x ≤ 2
Ответ: (1; 2]

Обрати внимание на три места. Первое: ОДЗ выписано до преобразований, а не в конце. Второе: сумма логарифмов свёрнута в логарифм произведения — это законно именно при x > 1. Третье: решение квадратного неравенства мы пересекли с ограничением, а не «приписали» его сбоку.

Основания, ОДЗ и переменные величины

Показательные и логарифмические неравенства дают больше всего потерь на ограничениях и на направлении знака. Правило простое: если основание больше 1, знак сохраняется; если основание между 0 и 1 — переворачивается. Например, log₀,₅(x + 3) ≥ −1 даёт x + 3 ≤ 2, то есть x ≤ −1, а вместе с ОДЗ x > −3 получаем −3 < x ≤ −1.

Когда основания разные, выручает рационализация: сравнение с нулём заменяют произведением (a − 1)(b − 1), не забывая про область определения. Так неравенство log_x(x − 2) ≥ 0 превращается в (x − 1)(x − 3) ≥ 0 при x > 0 и x ≠ 1.

Если тяжело даются условия с буквами и разбор случаев, посмотри разбор темы «не понимаю параметр» — ../articles/ne-ponimayu-parametr.html. Типичная ошибка здесь — сократить множитель, не проверив его знак, или забыть, что под логарифмом стоит строго положительное число.

Типичные ошибки и быстрая самопроверка

Собрали промахи, которые чаще всего стоят двух баллов. Первый: решение начинается без ОДЗ. Второй: умножение на выражение с неизвестным знаком, из-за чего теряется контроль над направлением неравенства. Третий: замена t = 2^x без условия t > 0, и в ответ попадает лишний корень. Четвёртый: неверный переход при основании меньше единицы. Пятый: ответ записан как x < 2 вместо (1; 2], то есть без учёта ограничения.

Проверка занимает две минуты: возьми по одной точке из каждого промежутка ответа и подставь в исходное неравенство. Если хотя бы одна не подходит — ищи ошибку в знаке или в ОДЗ.

Что запомнить и какой следующий шаг

Итог короткий: задание 15 — это про порядок, а не про хитрость. Выписывай ОДЗ первой строкой, определяй тип неравенства, выбирай приём, следи за знаком при основании меньше единицы и в конце пересекай решение с ограничениями. Ответ записывай промежутками, а не просто «x больше чего-то». Тогда два балла становятся почти технической формальностью.

Если сейчас тема кажется рассыпанной на десятки частных случаев, это нормально: она собирается практикой. Начни с пяти заданий в личном кабинете — там бесплатные тренажёры по неравенствам и разбор ошибок: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно.

Следующий шаг после базовых неравенств — логарифмы с переменным основанием и задачи с параметром: они опираются на те же навыки, но требуют разбора случаев.