ЕГЭ задание 17: планиметрия (полное решение): разбор с решением

Что проверяет задание 17 ЕГЭ

Планиметрия в задании 17 профильного ЕГЭ часто пугает рисунком и длинным условием, хотя решение обычно строится на нескольких знакомых фактах. Разберём алгоритм так, чтобы ты видел не набор случайных формул, а понятную цепочку: прочитать условие, найти нужные треугольники, выбрать теорему и проверить ответ.

В задачах встречаются окружности, касательные, параллелограммы, трапеции, медианы, высоты и углы. Первый шаг — аккуратно перенести данные на рисунок. Отметь равные стороны, параллельность, прямые углы и точки касания. Например, если в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 5, а основание равно 6, высота делит основание пополам: получаются отрезки 3 и 3.

h² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16
h = 4

Типичная ошибка — сразу подставлять числа в первую попавшуюся формулу. Сначала выясни, какой элемент требуется найти и какие величины уже связаны между собой.

Теория: ключевые факты планиметрии

Удобно разделить теорию на несколько опорных блоков. Для прямоугольного треугольника используй теорему Пифагора, для произвольного — формулу площади через сторону и высоту. Если известны две стороны и угол между ними, площадь равна половине произведения этих сторон на синус угла.

В окружности радиус перпендикулярен касательной в точке касания. Углы, опирающиеся на одну дугу, равны, а центральный угол вдвое больше вписанного. В подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны. Для параллельных прямых полезны равные накрест лежащие углы и пропорциональные отрезки.

Пример: площадь треугольника с основанием 12 и высотой 7 равна 42. Если высоту случайно принять за сторону, результат изменится, хотя формула внешне останется похожей.

Типичная ошибка — путать радиус с диаметром или использовать градусную меру угла вместо длины дуги. Подпиши каждый элемент на чертеже и только затем выбирай формулу.

Полное решение: треугольник и окружность

Разберём типичный сюжет. В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 6, BC = 8. Около треугольника описана окружность. Найдём её радиус и площадь треугольника. Важно заметить: гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности.

AB² = AC² + BC²
AB² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
AB = 10
R = AB ÷ 2 = 5
S = AC · BC ÷ 2 = 6 · 8 ÷ 2 = 24

Итак, радиус окружности равен 5, а площадь треугольника — 24. Мы применили два независимых факта: сначала нашли гипотенузу, затем использовали её как диаметр и вычислили площадь по двум катетам. Такой порядок уменьшает риск перепутать величины.

Типичная ошибка — считать радиус равным гипотенузе. Ещё одна проблема — забыть, что в формуле площади деление на 2 обязательно. Проверь единицы: радиус измеряется в единицах длины, площадь — в квадратных единицах.

Алгоритм решения и проверка ответа

Рабочий алгоритм можно записать в четыре действия. Сначала внимательно прочитай вопрос: требуется длина, площадь, радиус или угол. Затем отметь на рисунке известные элементы и найди дополнительные равенства. После этого выбери одну теорему и выполняй преобразования по шагам. В конце оцени, выглядит ли ответ правдоподобно.

Например, если катеты равны 9 и 12, гипотенуза должна быть больше каждого катета, а площадь равна 54. Если получил гипотенузу 3, значит, где-то нарушен порядок действий.

Типичная ошибка — округлять промежуточные значения. Сохраняй точные корни и дроби до последней строки, особенно когда ответ должен совпасть с вариантом.

Для дополнительной тренировки полезно повторить работу с графиками в материале о графическом решении уравнений: он развивает навык внимательного чтения рисунка.

Типичные ошибки на экзамене

Первая ошибка — неверно прочитанное условие. Фраза «касательная к окружности» даёт перпендикулярность радиуса и касательной, но не утверждает равенство всех отрезков. Вторая — потерянный коэффициент в площади: у треугольника он равен ½, у трапеции используется средняя линия.

Третья ошибка связана с подобием. Нельзя складывать соответствующие стороны разных фигур; сначала составь пропорцию. Например, при коэффициенте подобия 2 длины увеличиваются в 2 раза, площади — в 4 раза. Четвёртая ошибка — неверный выбор угла в тригонометрической формуле.

Полезно сделать мини-проверку: все длины положительны, площадь больше нуля, гипотенуза больше катета, а угол находится между 0° и 180°. Если в ответе появилась отрицательная длина, вычисления нужно пересмотреть.

Если хочется закрепить вычислительную часть, в разборе объёма куба и параллелепипеда потренируйся аккуратно работать с формулами и единицами.

Что запомнить перед практикой

Задание 17 решается не угадыванием, а последовательным анализом. Прочитай вопрос, перенеси условие на рисунок, выпиши равенства, выбери теорему и только потом считай. Главные опоры — Пифагор, свойства окружности, признаки подобия, формулы площадей и угловые отношения.

Разобранный пример показывает универсальную привычку: сначала найти простой элемент, затем использовать его в следующем шаге. В прямоугольном треугольнике это часто гипотенуза; в задаче с окружностью — радиус или диаметр; в задаче с параллельными прямыми — равные углы.

Типичная ошибка — считать решение законченным сразу после числа. Проверь условие, размерность и округление. Если нужна поддержка в практике, создай бесплатный личный кабинет: там удобно возвращаться к задачам и отмечать выполненные шаги.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно, разбирая каждое решение по этому алгоритму. Так теория постепенно превращается в уверенный навык.