ЕГЭ задание 18: параметр: разбор с решением

Задание 18 ЕГЭ: параметр — это не «задача на удачу»

Параметр — единственный номер в профильном ЕГЭ, где даже сильный ученик теряет баллы не из-за сложных формул, а из-за непродуманного перебора. Знакомо: читаешь «найдите все значения a, при которых уравнение имеет ровно один корень», пишешь первую строчку и застреваешь? Хорошая новость: у задания 18 есть устойчивый алгоритм, и он работает почти всегда. Сегодня разберём его по шагам: как переводить текст условия на язык графиков, как аккуратно разбирать случаи и как не потерять ответ на границе. Плюс один полный пример с решением, таблица соответствий и список ловушек. Параметр пугает не математикой, а необходимостью держать в голове несколько случаев одновременно — именно этому и учимся. Хочешь проверить себя сразу — в личном кабинете ждут бесплатные задачи с автопроверкой: открыть доступ.

Шаг 1. Переведи условие на язык «сколько решений»

Любая формулировка задания 18 на самом деле спрашивает об одном: сколько точек пересечения у графиков или сколько корней у уравнения. «Имеет единственное решение» → графики касаются или пересекаются ровно в одной точке. «Не имеет решений» → множество решений пусто. «Ровно два корня» → две точки. Сначала расшифруй фразу, и половина задачи уже решена.

Простейший пример: уравнение x² − 2x + a = 0 имеет ровно один корень.

D = (−2)² − 4·1·a = 4 − 4a
D = 0 → 4 − 4a = 0 → a = 1

Типичная ошибка здесь — приравнять D ≥ 0 и потерять требование единственности. И вторая, не менее частая: забыть, что ответ в таких задачах — множество значений параметра, а не одно число. Если в условии сказано «при каждом значении a», значит, в ответе будет промежуток, объединение промежутков или отдельные точки.

Шаг 2. Графический метод: параметр как сдвиг

В большинстве задач быстрее всего решить картинкой: выражение с x отвечает за форму графика, а параметр — за его сдвиг, поворот или растяжение. Строишь график левой части, а прямую y = a мысленно двигаешь и считаешь точки пересечения.

Пример: x² − 4x = a. График y = x² − 4x — парабола ветвями вверх с вершиной (2; −4). Прямая y = a — горизонталь, которая едет вверх и вниз.

Иногда вместо параболы появляется окружность, трапеция или треугольник — тогда выручает геометрия: формула площади из курса 8 класса и симметрия равнобедренного треугольника и его свойства. Типичная ошибка — рисовать «на глаз» и не отмечать вершину, границы области определения и точки разрыва: именно там прячутся ответы.

Шаг 3. Аналитический метод: разбор случаев

Если график построить сложно, работаем алгеброй: приводим уравнение к удобному виду и разбираем случаи по коэффициентам, знаку дискриминанта и области допустимых значений. Главное правило — никогда не дели на выражение с параметром, не проверив, не обращается ли оно в ноль.

Пример: (a − 2)x = a² − 4.

a = 2 → 0·x = 0 → x — любое число
a ≠ 2 → x = (a² − 4) ÷ (a − 2) = a + 2

Два случая — два разных ответа, и потерять первый нельзя. Дальше в дело идут теорема Виета, значения функции на концах отрезка и проверка ОДЗ. Ошибка, которая стоит баллов чаще всего: ученик делит на (a − 2), получает x = a + 2 и на этом останавливается. Разбор случаев лучше сразу оформлять строками «если a = … , то … » — проверяющему видна логика, тебе — что ничего не пропущено.

Полный разбор примера

Задача: найди все значения a, при которых уравнение x² + (a − 3)x + a = 0 имеет два корня разных знаков.

x² + (a − 3)x + a = 0
корни разных знаков → x₁ · x₂ < 0
по теореме Виета: x₁ · x₂ = a
значит, a < 0
проверяем дискриминант:
D = (a − 3)² − 4·1·a = a² − 10a + 9
при a < 0: a² > 0 и −10a > 0 → D > 0
Ответ: a < 0

Разбор: сначала мы перевели фразу «разные знаки» в неравенство для произведения корней, потом убедились, что при найденных a дискриминант действительно положителен. Проверка D экономит балл: без неё ответ формально не обоснован. Типичные ошибки: перепутать разные знаки с «оба отрицательны» (там нужно x₁ + x₂ < 0 и x₁ · x₂ > 0), забыть про вырожденный случай a = 0, когда уравнение становится линейным, и записать ответ одним числом вместо промежутка. Ещё пять похожих задач с автопроверкой есть в твоём личном кабинете.

Что запомнить

Задание 18 держится на трёх опорах. Первая — перевод условия: любая фраза о единственности, отсутствии или количестве корней превращается в утверждение о точках пересечения. Вторая — графический метод с движущейся прямой или окружностью: он даёт ответ быстро и наглядно. Третья — разбор случаев там, где картинка не спасает. Работает только связка: рисунок подсказывает, алгебра доказывает.

Перед экзаменом прогони по этому алгоритму хотя бы десяток задач — и параметр перестанет быть страшным номером. Регистрируйся и реши 5 заданий бесплатно 👉 в личном кабинете «Просто Урок». Проверка приходит сразу, а ошибки разбираются по шагам.