ЕГЭ задание 19: числа и их свойства

Что проверяет задание 19

В задании 19 профильного ЕГЭ нужно рассуждать о целых числах, делимости, остатках и свойствах последовательностей. Оно кажется «нестандартным», потому что ответ часто нельзя получить одним знакомым алгоритмом. Но если научиться переводить условие на язык делителей, сравнений и перебора случаев, решение становится управляемым. Ниже разберём, как действовать по шагам, где искать идею и как не терять время на экзамене.

Сначала выпиши, какие числа допустимы: натуральные, целые, положительные или, например, делители конкретного числа. Затем выдели ограничения и проверь маленькие значения. Такой перебор не заменяет доказательство, зато помогает заметить закономерность.

Пример:
Число n делится на 6 → n делится на 2 и на 3
n = 6k, где k — целое число

Типичная ошибка — считать, что число, делящееся на 2 или на 3, обязательно делится на 6. Нужно именно одновременное выполнение обоих условий. Если текст задачи кажется непонятным, полезно повторить базовый алгоритм чтения условия в статье «Не понимаю текстовые задачи».

Делимость, НОД и разложение на множители

Для задания 19 важно уверенно работать с признаками делимости и разложением числа на простые множители. Если a делится на b, это означает, что a = b·k для некоторого целого k. При поиске общего свойства удобно находить НОД: он содержит только общие простые множители в наименьших степенях. НОК, наоборот, включает все множители в наибольших степенях.

Пример:
84 = 2²·3·7
126 = 2·3²·7
НОД(84; 126) = 2·3·7 = 42
НОК(84; 126) = 2²·3²·7 = 252

Если требуется найти количество делителей, используй степени в разложении. Для числа 2ᵃ·3ᵇ количество положительных делителей равно (a + 1)·(b + 1). Например, у 72 = 2³·3² будет 4·3 = 12 делителей.

Типичная ошибка — путать НОД и НОК или забывать делитель 1 и само число.

Остатки и сравнения

Если число при делении на m даёт остаток r, его можно записать как n = m·k + r, где 0 ≤ r < m. Это представление помогает исследовать степени, произведения и суммы без громоздких вычислений. В задачах ЕГЭ часто достаточно рассмотреть возможные остатки, которых немного.

Пример:
Докажем, что квадрат целого числа не может иметь остаток 2 при делении на 4.
Остаток n: 0, 1, 2 или 3
Квадраты остатков: 0² = 0, 1² = 1, 2² = 0, 3² = 1
Получаются только остатки 0 и 1

Значит, утверждение доказано. Такой метод называется перебором классов остатков. Для степеней сначала ищи период: например, последние цифры степеней 2 повторяются через четыре шага — 2, 4, 8, 6.

Ошибка — проверять несколько чисел и объявлять это доказательством. Перечислить нужно все возможные остатки.

Последовательности и инварианты

В некоторых вариантах числа изменяются по правилу: к одному прибавляют, другое умножают, элементы переставляют. Здесь ищут величину, которая не меняется, или свойство, сохраняющееся после каждого шага. Такой объект называют инвариантом. Иногда вместо него удобнее использовать чётность: сумма или количество нечётных чисел может сохранять определённый вид.

Пример:
На доске записаны числа 1, 2, 3, 4. За ход выбирают два числа и заменяют их разностью.
Чётность разности: чётное − чётное = чётное
нечётное − нечётное = чётное
чётное − нечётное = нечётное

Перед решением опиши один ход на конкретных числах, а затем спроси: что гарантированно остаётся прежним? Иногда полезно рассматривать сумму по модулю 2 или остаток суммы по модулю 3.

Типичная ошибка — доказывать только возможность хода, хотя вопрос спрашивает, что произойдёт при любом выборе. Важно различать «существует ход» и «для каждого хода».

Если тебе трудно удерживать цепочку рассуждений, в личном кабинете можно бесплатно потренироваться на похожих задачах: зарегистрируйся и сохрани прогресс.

Полностью разобранный пример

Рассмотрим задачу: найти все натуральные n, при которых n + 1 делится на n − 1. Здесь нельзя сразу делить выражения как обычные дроби: сначала нужно учесть область допустимых значений и преобразовать условие делимости.

Решение:
n − 1 ≥ 1, значит n ≥ 2
n + 1 = (n − 1) + 2
Если n − 1 делит n + 1, то n − 1 делит их разность: 2
n − 1 ∈ {1; 2}
n ∈ {2; 3}
Проверка: 3 делится на 1; 4 делится на 2
Ответ: 2; 3

Главный приём — заменить большое выражение его разностью с делителем. После этого остаётся проверить делители небольшого числа. Обязательно возвращай найденные значения в исходное условие: это защищает от лишних корней и неверных преобразований.

Типичная ошибка — получить n − 1 = ±2, хотя натуральный делитель рассматривается положительным.

Что запомнить перед экзаменом

Задание 19 решается не угадыванием, а выбором подходящего свойства. Проверь делимость и разложение на множители, представь число через остаток, найди период или инвариант, а затем обязательно сделай проверку. Если вариантов немного, перебор допустим, но он должен быть полным и объяснённым.

Короткий алгоритм:
1. Определи множество допустимых чисел.
2. Перепиши условие через делимость или остатки.
3. Сократи выражение разностью или разложением.
4. Проверь каждый найденный вариант.

Например, если a делится на b и a = b + 6, то b делит 6, поэтому достаточно рассмотреть делители 6, а не все натуральные числа.

Не путай необходимое условие с достаточным: найденный кандидат ещё нужно подставить в исходную задачу. Для закрепления зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. А если нужно восстановить базу, поможет материал «ОГЭ по математике с нуля».