Касательная к графику: уравнение: задачи с решениями

Касательная к графику: главная идея

Касательная часто кажется сложной из-за множества обозначений, но на деле это короткий алгоритм: найти производную, точку касания и подставить значения. Разберём тему так, чтобы ты уверенно решал задания 11 класса и замечал типичные ловушки ещё до проверки ответа.

Касательная — прямая, которая соприкасается с графиком функции в выбранной точке. Её угловой коэффициент равен производной функции в этой точке. Поэтому сначала определяют функцию, затем координату x₀ и вычисляют f(x₀), f′(x₀).

y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀)
k = f′(x₀)
A(x₀; f(x₀))

Например, для f(x) = x² в точке x₀ = 2 получаем f(2) = 4, f′(x) = 2x, f′(2) = 4. Значит, касательная проходит через точку A(2; 4) и имеет наклон 4.

Не путай касательную с осью или хордой: хорда соединяет две точки графика, а касательная определяется одной точкой и локальным наклоном.

Алгоритм составления уравнения

Если дана функция и абсцисса точки касания, действуй по четырём шагам. Первый: найди производную. Второй: вычисли значение функции в x₀. Третий: вычисли производную в x₀. Четвёртый: подставь результаты в формулу касательной и упрости выражение.

1. f′(x)
2. y₀ = f(x₀)
3. k = f′(x₀)
4. y = y₀ + k·(x − x₀)

Рассмотрим f(x) = x³ − 3x и x₀ = 1. Производная равна 3x² − 3. Значение функции: 1 − 3 = −2. Значение производной: 3 − 3 = 0. Тогда касательная горизонтальна и имеет уравнение y = −2.

Проверка полезна всегда: подстановка x = x₀ в полученную прямую должна дать y₀. В примере при x = 1 результат равен −2, значит точка касания совпадает.

Типичная ошибка — подставить x₀ в исходную функцию, но забыть подставить его в производную. Ещё одна проблема — потерять скобки в выражении x − x₀.

Для дополнительной тренировки можно открыть материал о системах неравенств: аккуратная работа со знаками пригодится и при преобразовании касательной.

Если хочешь сразу закрепить алгоритм, зайди в личный кабинет и реши несколько тренировочных примеров в удобном темпе.

Разобранная задача с решением

Найдём касательную к графику функции f(x) = √x в точке с абсциссой x₀ = 4. Здесь важно помнить производную корня: f′(x) = 1 ÷ (2√x). Все вычисления выполним последовательно, не пропуская промежуточные значения.

f(4) = √4 = 2
f′(x) = 1 ÷ (2√x)
f′(4) = 1 ÷ (2·2) = ¼
y = 2 + ¼·(x − 4)
y = ¼x + 1

Ответ: y = ¼x + 1. Проверим точку: при x = 4 получаем y = 1 + 1 = 2, то есть прямая проходит через точку графика (4; 2). Её наклон положительный, поэтому касательная возрастает.

Обрати внимание: дробный коэффициент не означает, что решение стало сложнее. Главное — правильно вычислить корень и сохранить скобки до последнего шага.

Типичная ошибка в этой задаче — принять значение функции за коэффициент наклона. Здесь y₀ = 2, а k = ¼: это разные величины и разные роли в формуле.

Полезно потренироваться на похожих примерах через бесплатную практику, каждый раз делая проверку подстановкой.

Задачи по условию и таблица формул

В экзаменационных заданиях могут дать не саму функцию, а точку, производную или условие о параллельности прямой. Если касательная параллельна прямой y = kx + b, их угловые коэффициенты равны: f′(x₀) = k. Это уравнение позволяет найти абсциссу точки касания.

Пример: f(x) = x² − 4x, касательная параллельна прямой y = 2x + 1. Имеем f′(x) = 2x − 4. Уравнение 2x₀ − 4 = 2 даёт x₀ = 3. Затем f(3) = 9 − 12 = −3, а касательная: y = −3 + 2·(x − 3), то есть y = 2x − 9.

Если требуется горизонтальная касательная, ищи нули производной, а затем проверяй область определения исходной функции.

Типичная ошибка — сравнить свободные члены двух параллельных прямых. Параллельность определяется коэффициентами при x, а не числами после знака плюс.

Типичные ошибки и самопроверка

Большинство ошибок связано не с самой формулой, а с невнимательностью. Проверь область определения: например, для √x нужны допустимые значения x. Для дробной функции знаменатель не должен быть равен нулю. Если функция задана произведением или сложной суммой, сначала корректно найди производную.

Проверка 1: точка A лежит на графике
Проверка 2: прямая проходит через A
Проверка 3: коэффициент касательной равен f′(x₀)

Мини-пример: f(x) = 2x² + 1, x₀ = −1. Тогда f(−1) = 3, f′(x) = 4x, f′(−1) = −4. Уравнение: y = 3 − 4·(x + 1), или y = −4x − 1. При x = −1 получаем 3, всё верно.

Заметь, что в скобках появляется x − (−1), поэтому получается x + 1. Нельзя механически писать x − 1: знак координаты нужно учитывать.

Ещё одна ошибка — округлять дроби слишком рано. Оставляй точные значения: ¼, ⅓ или √2, а десятичную запись используй только при необходимости.

Похожий навык чтения условия пригодится в заданиях ЕГЭ; полезно посмотреть разбор демоверсии ЕГЭ-2027 по информатике и потренировать внимательность к ограничениям.

Что запомнить

Уравнение касательной строится по формуле y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀). Значение f(x₀) задаёт координату точки на графике, а f′(x₀) — наклон прямой. Эти величины нельзя менять местами.

Алгоритм: производная → точка → наклон → уравнение → проверка
Параллельность: f′(x₀) = k
Горизонтальность: f′(x₀) = 0

В каждой задаче сначала выпиши x₀, затем отдельно вычисли y₀ и k. После упрощения подставь x₀ в ответ: результат должен совпасть с y₀. Такая проверка занимает немного времени, но ловит ошибки со знаками и скобками.

Не забывай об области определения и точной записи дробей. Если условие просит найти точку касания, одного уравнения прямой может быть недостаточно: укажи координаты A(x₀; y₀).

Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно. После каждого ответа объясняй себе, где производная, где точка, а где коэффициент наклона.