Просто УрокПервообразная: что это: задачи с решениями
Если на контрольной ты видишь задание «найдите первообразную» и в голове пусто — это не про способности, а про порядок действий, которого пока нет. Хорошая новость: тема собирается по шагам, и уже через пару задач ответ начнёт читаться п…
Первообразная: что это и зачем она нужна
Если на контрольной ты видишь задание «найдите первообразную» и в голове пусто — это не про способности, а про порядок действий, которого пока нет. Хорошая новость: тема собирается по шагам, и уже через пару задач ответ начнёт читаться почти сразу. Здесь мы возьмём определение, таблицу, правила и типичные ошибки — всё, что нужно для практики по теме «Первообразная» в 11 классе.
Первообразная для функции f(x) на промежутке — это такая функция F(x), производная которой равна f(x) в каждой точке этого промежутка. Коротко: F′(x) = f(x). Самопроверка встроена в само определение: нашёл первообразную — возьми производную и сравни с исходной функцией.
f(x) = 2x → F(x) = x²
Проверка: (x²)′ = 2x ✓
f(x) = cos x → F(x) = sin x
Проверка: (sin x)′ = cos x ✓
Типичная ошибка — думать, что первообразная одна. У 2x подойдут и x², и x² + 5, и x² − 7: производная каждой равна 2x. Поэтому в ответе всегда пишут F(x) + C, и об этом мы поговорим отдельно ниже.
Таблица первообразных и два правила
Почти все задания решаются по одной таблице: её не нужно выводить, её нужно узнавать. Ниже — строки, которые встречаются чаще всего.
| f(x) | Первообразная F(x) |
|---|---|
| k (число) | kx + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| √x | (2/3)·x√x + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | tg x + C (для 1/cos²x — tg x) |
| eˣ | eˣ + C |
Два правила делают таблицу универсальной. Постоянный множитель можно выносить за знак первообразной. Первообразная суммы равна сумме первообразных.
f(x) = 5x⁴ → F(x) = 5 · x⁵/5 = x⁵ + C
f(x) = 3x² + cos x → F(x) = x³ + sin x + C
Учи таблицу не глазами, а обратным ходом: закрывай правый столбец и вспоминай, производная чего даёт функцию слева. Так строки запоминаются за один вечер, а не за месяц зубрёжки. Хочешь проверить себя — открой личный кабинет и реши подборку заданий на узнавание формул.
Ошибка новичка — пытаться «угадать» первообразную для произведения или частного. Строки для (x + 1)·sin x в таблице нет: сначала упрощаем выражение, потом ищем первообразную.
Неопределённый интеграл и константа C
Совокупность всех первообразных записывают одним символом: ∫ f(x)dx = F(x) + C. Читается как «неопределённый интеграл». Смысл простой: интеграл — это не одно число и не одна функция, а целое семейство графиков, сдвинутых вертикально.
∫ 2x dx = x² + C
∫ 3x² dx = x³ + C
∫ (4x³ + 2) dx = x⁴ + 2x + C
Проверка занимает пять секунд: (x⁴ + 2x + C)′ = 4x³ + 2, значит, интеграл взят верно. Кстати, линейность работает и здесь: интеграл суммы равен сумме интегралов, а число выносится множителем.
Частая потеря баллов — написать + C в одном примере и забыть в другом. Правило простое: если в задании сказано «найдите общий вид первообразных» или стоит знак ∫, константа обязательна. Если же просят найти первообразную, график которой проходит через конкретную точку, константа находится из условия и в итоговой записи её уже не оставляют в общем виде. Разбор оформления таких решений, кстати, полезен и в задачах по геометрии — там снятие баллов за небрежность встречается ещё чаще.
Первообразная, скорость и площадь
Физический смысл темы самый наглядный. Скорость — это производная пути по времени, значит путь — первообразная скорости. Если v(t) = 3t², то s(t) = t³ + C. Константа определяется начальным положением: в момент t = 0 тело уже где-то находилось. Подробнее про графики движения и чтение условий — в материале про движение за 5 минут.
Второй смысл — геометрический. Площадь криволинейной трапеции под графиком f(x) на отрезке от a до b считают по формуле Ньютона — Лейбница: S = F(b) − F(a), где F — любая первообразная f.
f(x) = 2x, a = 0, b = 3
F(x) = x²
S = F(3) − F(0) = 9 − 0 = 9
В формуле Ньютона — Лейбница константа C не нужна: при вычитании она сокращается. А вот порядок подстановки путают часто: вычитают F(a) − F(b) вместо F(b) − F(a) и получают отрицательную площадь.
Задачи с решениями
Задача 1. Найти общий вид первообразных для f(x) = 6x² − 4x + 1. Действуем по таблице: степень увеличиваем на единицу и делим на новый показатель.
F(x) = 6 · x³/3 − 4 · x²/2 + x + C
F(x) = 2x³ − 2x² + x + C
Проверка: (2x³ − 2x² + x + C)′ = 6x² − 4x + 1 ✓
Задача 2. f(x) = 3cos x + 1/x. Берём строки для косинуса и для единицы, делённой на x.
F(x) = 3 sin x + ln|x| + C
Задача 3. Найти первообразную f(x) = 2x, график которой проходит через точку A(1; 5). Сначала общий вид, потом подстановка координат.
F(x) = x² + C
5 = 1² + C → C = 4
F(x) = x² + 4
Обрати внимание на оформление: проверка производной и подстановка точки — это отдельные строки, за них обычно и дают полный балл. Как не потерять баллы из-за записи, разобрано в статье про оформление решений. Потренироваться на похожих примерах с автоматической проверкой можно в бесплатной практике.
Что запомнить
Держи выжимку. Первообразная F(x) — функция, производная которой равна f(x). Она не единственная: все варианты отличаются на константу, поэтому в общем ответе стоит + C. Таблица — основной инструмент, а два правила (вынос множителя и сумма) расширяют её почти на все задания школьного уровня. Проверка ответа — дифференцирование: это самый быстрый способ поймать свою ошибку прямо на контрольной. Формула Ньютона — Лейбница связывает первообразную с площадью, а скорость и путь показывают физический смысл темы.
Следующий шаг — не перечитывать теорию, а сделать её руками. Зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно: по одной задаче на таблицу, на правила, на + C и на подстановку точки. После такой практики задания на первообразную перестают быть «страшными» и становятся обычными техническими упражнениями.
Чем первообразная отличается от производной?
Это обратные операции. Производная по функции даёт скорость её изменения, а первообразная по функции возвращает ту функцию, чьей производной она была. Отсюда и проверка: находишь первообразную — бери производную и сравнивай с исходной записью.
Почему в ответе всегда пишут + C?
Потому что производная любой константы равна нулю. Значит, у одной функции бесконечно много первообразных, отличающихся только вертикальным сдвигом. Запись F(x) + C охватывает всё семейство, а конкретное C находят из условия задачи.
Как быстро проверить, что первообразная найдена верно?
Продифференцируй ответ. Если после упрощения получилась исходная функция f(x), решение верное. Это правило работает всегда и спасает на контрольной, когда сомневаешься в строке таблицы или в коэффициенте.
Как закрепить тему после разбора?
Прочитал теорию — сразу реши пять-семь задач: на таблицу, на сумму, на + C и на точку. Затем вернись к ним через день и через неделю. Такой короткий повтор закрепляет навык заметно надёжнее, чем долгое перечитывание конспекта.
Хочешь понимать предмет уверенно?
Репетитор Просто Урок разбирает сложные темы по шагам и даёт целевые тренировки. Регистрация занимает минуту.