Сложение и вычитание смешанных чисел: задачи с решениями и ответами

Смешанные числа: что это и как их складывать

Знакомая боль: в домашке пример 2⅓ + 1⅚, а в голове — туман. Смешанные числа кажутся сложными ровно до того момента, пока не поймёшь главное: запись 2⅓ означает 2 + ⅓, то есть «два целых и одна треть», а не умножение. Дальше всё держится на двух привычках: приводить дроби к общему знаменателю и отдельно считать целые части. Разберём правила по шагам, а затем отработаем их на задачах с решениями и ответами — так, чтобы на контрольной ты действовал уверенно.

Правило сложения простое. Складывай целые с целыми, а дроби с дробями. Если знаменатели разные, сначала приведи дроби к общему знаменателю. Если сумма дробных частей получилась неправильной дробью, где числитель больше знаменателя или равен ему, выдели целую часть и прибавь её к целым.

2⅓ + 1⅚ = (2 + 1) + (⅓ + ⅚)
= 3 + (2/6 + 5/6) = 3 + 7/6
7/6 = 1⅙ → 3 + 1⅙ = 4⅙

Типичная ошибка — складывать числители с числителями, а знаменатели со знаменателями: ⅓ + ⅚ = 6/9. Так нельзя: третьи и шестые доли разного размера. Знаменатель показывает, на сколько частей разделили целое, и при сложении он не складывается никогда. Проверить себя легко: ответ 6/9 меньше ½, а сумма ⅓ и ⅚ явно больше единицы.

Вычитание смешанных чисел: когда дроби «не хватает»

Вычитание устроено похоже, но есть отдельная ловушка: дробная часть уменьшаемого может оказаться меньше дробной части вычитаемого. Тогда у целой части «занимают» единицу. Одна единица — это дробь с тем же знаменателем: 1 = 6/6 или 1 = 10/10. После этого уменьшаемое превращается в сумму целой части и неправильной дроби.

Порядок действий такой: приведи дроби к общему знаменателю; сравни дробные части; если нужно, займи единицу; вычти целые и дроби отдельно; сократи результат.

3⅙ − 1⅔ = 3⅙ − 1(4/6)
= 2(7/6) − 1(4/6)
= (2 − 1) + (7/6 − 4/6) = 1 + 3/6 = 1½

Ошибка новичка — занять единицу и забыть уменьшить целую часть: 3⅙ превращается в 2 + 7/6, а не остаётся 3 + 7/6. Из-за этого ответ вырастает ровно на единицу. Проверка занимает секунды: сложи ответ с вычитаемым — должно получиться уменьшаемое.

Задача на сложение: разбор с решением

Задача. На складе было 4¾ т крупы, привезли ещё 2⅔ т. Сколько крупы стало? Приводим дроби к общему знаменателю 12: ¾ = 9/12, ⅔ = 8/12. Складываем целые: 4 + 2 = 6. Складываем дроби: 9/12 + 8/12 = 17/12. Выделяем целую часть: 17/12 = 1 5/12. Итого 6 + 1 5/12 = 7 5/12 т.

Ответ: 7 5/12 т. Обрати внимание: в ответе обычно записывают смешанное число, а дробную часть сокращают, если это возможно. Неправильная дробь тоже верна, но выделенная целая часть сразу показывает масштаб числа: 7 5/12 легко оценить, а 89/12 — уже нет.

Частая ошибка в задачах — потерять единицу при выделении целой части: записать 17/12 как 5/12 и получить 6 5/12. Чтобы этого не случилось, всегда отделяй целое: «в 17 двенадцатых содержится одна целая и ещё пять двенадцатых».

Задача на вычитание: разбор с решением

Задача. В баке 12½ л воды, израсходовали 5⅗ л. Сколько воды осталось? Общий знаменатель 10: 12½ = 12 5/10, 5⅗ = 5 6/10. Дробь 5/10 меньше 6/10, значит занимаем единицу: 12 5/10 = 11 15/10. Вычитаем целые: 11 − 5 = 6. Вычитаем дроби: 15/10 − 6/10 = 9/10.

12½ − 5⅗ = 12(5/10) − 5(6/10)
= 11(15/10) − 5(6/10)
= 6 + 9/10 = 6 9/10

Ответ: 6 9/10 л. Проверим обратным действием: 6 9/10 + 5 6/10 = 11 15/10 = 12 5/10 = 12½ л. Сходится, значит решение верное.

Типичные ошибки здесь две. Первая — вычитать «наоборот»: 6/10 − 5/10, будто из вычитаемого вычитают уменьшаемое. Вторая — забыть про литры и записать ответ без наименования. В задачах с величинами ответ без единиц измерения считается неполным, даже если сами вычисления верны.

Типичные ошибки и быстрая проверка

Соберём то, на чём чаще всего теряют баллы. Первая ошибка — складывать знаменатели. Вторая — забывать про общий знаменатель, когда он разный. Третья — не выделять целую часть там, где просят смешанное число. Четвёртая — при вычитании занимать единицу и не уменьшать целую часть. Пятая — сокращать дроби «по частям», до того как посчитана сумма.

Проверка занимает секунды: сложи ответ с вычитаемым или перепроверь сложение вычитанием. Если дробная часть ответа больше единицы, значит, целая часть выделена не до конца.

Если тема идёт тяжело, вернись к базе: повтори действия с обыкновенными дробями и потренируй внимательное чтение условия, как в разборе повторение заданий 7–8 ОГЭ и в статье «не понимаю параметр». Умение медленно разобрать условие и выписать данные помогает и со смешанными числами.

Что запомнить

Главное в пяти пунктах: смешанное число — это сумма целой и дробной части; целые складывают с целыми, дроби с дробями; разные знаменатели приводят к общему; неправильную дробь превращают в смешанное число; при вычитании «занимай» единицу у целой части и не забывай её уменьшить. Ещё одно правило: ответ всегда проверяй обратным действием — это спасает от потери единицы.

Следующий шаг — не читать, а решать. В личном кабинете «Просто Урок» есть короткие тренировки с мгновенной проверкой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно. Начни с простых примеров, где дроби складываются без перехода через единицу, затем добавь задачи с «займом» и выделением целой части. Так навык закрепляется за один вечер, а не за месяц перечитывания правил.