Сравнение чисел с разными знаками: задачи с решениями и ответами

Как сравнивать числа с разными знаками

Когда в примере встречаются отрицательные и положительные числа, легко запутаться: знак «минус» кажется большим препятствием, а число с большим количеством цифр — автоматически большим. На самом деле достаточно запомнить несколько правил. В этом материале ты разберёшь сравнение чисел с разными знаками, потренируешься на задачах и научишься объяснять ответ без угадывания.

Сначала определи знаки чисел. Любое положительное число больше нуля, ноль больше любого отрицательного числа, а любое отрицательное число меньше нуля. Поэтому число со знаком «+» всегда больше числа со знаком «−».

−8 < 0 < 5
−12 < 3
7 > −20

Если оба числа положительные, сравнивай их обычно: больше то, у которого больше значение. Если оба отрицательные, сравнивай модули наоборот: число, расположенное ближе к нулю, больше.

Например, −4 больше, чем −9, потому что 4 меньше 9. Полезно представить числа на координатной прямой: точка правее всегда соответствует большему числу. Дополнительный способ проверить домашнюю работу описан в материале о проверке решений.

Типичная ошибка — считать, что −15 больше, чем −6, потому что 15 больше 6. При отрицательных числах знак меняет привычный порядок.

Сравнение по координатной прямой

Координатная прямая помогает увидеть смысл сравнения, а не просто запомнить правило. На ней есть начало отсчёта 0, положительное направление вправо и отрицательное направление влево. Чем правее расположена точка, тем больше соответствующее число.

Разберём пример полностью.

Сравнить −3 и 2.
−3 находится левее нуля, а 2 — правее нуля.
Любое отрицательное число меньше любого положительного.
Ответ: −3 < 2.

Теперь рассмотрим два отрицательных числа.

Сравнить −7 и −2.
Точка −2 расположена правее точки −7.
Значит, −2 больше, чем −7.
Ответ: −7 < −2.

Можно пользоваться правилом модулей: сравниваем 7 и 2, видим, что 7 больше, а затем меняем направление знака: −7 < −2. Такой приём особенно удобен, когда числа записаны без рисунка.

Типичная ошибка — сравнивать только цифры после знака, не учитывая направление на прямой. Для отрицательных чисел это приводит к противоположному ответу.

Дробные и смешанные числа

Правила работают и для дробей, десятичных записей и смешанных чисел. Сначала снова сравни знаки. Если знаки разные, сравнение выполняется сразу: положительное число больше отрицательного, даже если его модуль меньше.

−0,4 < 0,1
−⅓ < ⅔
−2⅓ < 1

Если оба числа положительные, можно привести дроби к общему знаменателю или перевести их в десятичную форму. Например, ¾ = 0,75, а ⅔ ≈ 0,67, поэтому ¾ > ⅔.

Для двух отрицательных дробей сначала сравни модули, затем поставь обратный знак. Например, ⅖ меньше, чем ⅚, поэтому −⅖ больше, чем −⅚: первая точка ближе к нулю.

⅖ < ⅚
−⅖ > −⅚

Смешанные числа удобно преобразовать в неправильные дроби или сравнить их целые части. Так, −2⅓ меньше, чем −1¾, потому что −2⅓ находится левее на прямой.

Типичная ошибка — забыть, что отрицательная дробь с меньшим модулем является большей. Закрепить навык можно в личном кабинете с бесплатной практикой, где удобно сразу проверять знак ответа.

Ещё одна ошибка — сравнить знаменатели отдельно и сделать вывод без учёта числителей. Сначала приводи дроби к сопоставимому виду.

Задачи для тренировки

Решая задание, действуй по алгоритму: определи знаки, сравни расположение относительно нуля, при необходимости сравни модули, затем запиши знак и короткое объяснение. Не торопись ставить знак только по первой цифре.

Проверь пример −0,7 и −0,2. Модули равны 0,7 и 0,2; 0,2 меньше, поэтому отрицательное число −0,2 больше. Получаем −0,7 < −0,2.

Попробуй решить самостоятельно: −1,2 и −1,8; 2⅓ и −4; −⅝ и −½. Ответы: −1,2 > −1,8; 2⅓ > −4; −⅝ < −½.

Типичная ошибка — записать только результат без рассуждения. На уроке объяснение помогает заметить неверное направление знака.

Типичные ошибки и самопроверка

Первая ошибка — путать знак числа и знак сравнения. В записи −5 < −2 первый минус относится к числу, а символ «меньше» показывает результат сравнения. Читай выражение медленно, слева направо.

Вторая ошибка — считать ноль положительным числом. В школьной математике ноль не является ни положительным, ни отрицательным, но он больше любого отрицательного и меньше любого положительного.

−4 < 0 < 6
−0,01 < 0
0 < 0,01

Третья ошибка появляется при переносе неравенства. Если умножить или разделить обе части на отрицательное число, знак меняется на противоположный. Например:

−3 < 5
(−3) · (−1) > 5 · (−1)
3 > −5

Для простой проверки задай себе вопрос: какое число правее на координатной прямой? Если сравниваются отрицательные числа, спроси также: какое ближе к нулю?

Не смешивай эту тему с геометрическими формулами, но навык чтения знаков пригодится и там; полезный пример есть в статье о геометрическом смысле производной.

Типичная ошибка — механически менять знак в каждом примере. При обычном сравнении отрицательных чисел знак не «переворачивают» отдельно: его определяют по положению чисел.

Что запомнить

Главное правило такое: положительное число больше отрицательного, ноль находится между ними, а среди отрицательных больше то число, которое ближе к нулю. На координатной прямой большее число всегда расположено правее.

Алгоритм решения: определи знаки; если они разные, сравни сразу; если оба числа отрицательные, сравни модули и учти обратный порядок; если есть дроби, приведи их к удобному виду; проверь ответ по координатной прямой.

−10 < −2 < 0 < ⅓ < 4

Перед сдачей работы перечитай именно знак сравнения. Ошибочный символ меняет весь ответ, даже если рассуждение почти верное. Полезно проговаривать решение словами: «это число левее, значит оно меньше».

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. Так ты сразу увидишь, какое правило уже уверенно применяешь, а какое стоит повторить.

Типичная ошибка — выучить правило без тренировки. После разбора реши несколько примеров с целыми, десятичными и дробными числами, а затем объясни один ответ своими словами.