Числовые выражения и выражения с переменными

Числовые выражения и выражения с переменными: с чего начать

Бывает так: смотришь на пример (24 − 6) : 3 + 5 · 2 и вроде всё знакомо, а ответ не сходится с тем, что в учебнике. А потом появляется запись 3x + 7 — и становится совсем непонятно, как это считать, если x неизвестен. Знакомо? Тогда читай дальше: разберём по шагам, чем числовое выражение отличается от выражения с переменными, как находить значения и какие ошибки подстерегают на контрольной.

Начнём с главного. Числовое выражение — это запись из чисел, знаков действий и скобок. Например: 18 + 4 · 5, (7 − 2)², 36 : 6 − 1. Всё, что в нём есть, известно заранее, поэтому такое выражение можно вычислить и получить одно конкретное число.

Выражение с переменными — запись, где кроме чисел и действий есть буквы: 5a + 3, 2(x − 4), m² − n. Буква — это не «неизвестность навсегда», а место, куда подставляют разные числа. Меняется значение буквы — меняется значение всего выражения.

По сути это язык, на котором математика описывает общие правила: одна формула работает для сотни разных задач. А если условия задач пока даются тяжело, разберись сначала с ними — об этом подробно в статье «Не понимаю текстовые задачи».

Числовое выражение: порядок действий и значение

Значение числового выражения находят по порядку действий: сначала то, что в скобках, затем возведение в степень, потом умножение и деление слева направо, и только после них — сложение и вычитание, тоже слева направо.

(24 − 6) : 3 + 5 · 2
= 18 : 3 + 5 · 2
= 6 + 10
= 16

Обрати внимание: сначала разобрались со скобками, затем выполнили деление и умножение, и лишь в конце сложение. Если нарушить порядок и посчитать 18 : 3 + 5 = 11, а потом умножить на 2, выйдет 22 — неверно.

Иногда выражение вычислить нельзя: 15 : (4 − 4) или 8 : (a − a). Деление на нуль запрещено, поэтому говорят, что выражение не имеет смысла. Это хороший ориентир: прежде чем считать, проверь, не появится ли нуль в знаменателе.

Выражения с переменными: буква как число

Если в записи есть буква, выражение называют выражением с переменной (или с переменными). Например, 4b означает «четыре умножить на b», а запись 3x + 2y − 1 содержит уже две переменные. Важно: между числом и буквой знак умножения не пишут, но он там есть.

Значение такого выражения зависит от того, какие числа подставлены. Возьмём 5a + 3. При a = 2 получим 5 · 2 + 3 = 13, при a = 10 — 53, а при a = 0 — просто 3.

Не всякие числа можно подставлять. Множество значений переменной, при которых выражение имеет смысл, называют областью допустимых значений. В выражении 7 : (x − 4) нельзя брать x = 4; в выражении √(y − 2) нужно, чтобы y ≥ 2. В 7 классе достаточно простого правила: следи за знаменателями и корнями.

Отдельная тема — дроби с буквами. Действия с ними подчиняются тем же правилам, что и с обычными: нужен общий знаменатель, нужно сокращать. Полезно повторить материал в статье «Сложение и вычитание дробей».

Разбор примера: находим значение выражения

Разберём задачу полностью. Нужно найти значение выражения 3(a + 2) − a² при a = 4.

3(a + 2) − a², a = 4
= 3 · (4 + 2) − 4²
= 3 · 6 − 16
= 18 − 16
= 2

Шаг 1: подставляем число вместо буквы, аккуратно закрывая его в скобки — это спасает от ошибок со знаками. Шаг 2: считаем то, что в скобках, получаем 6. Шаг 3: находим 4² = 16 и 3 · 6 = 18. Шаг 4: вычитаем и получаем ответ 2. Записывай каждый шаг отдельной строкой — так виден ход решения, даже если в арифметике случится описка.

Проверка: подставим a = 4 ещё раз, но посчитаем иначе. Сначала раскроем скобки: 3a + 6 − a² = 3 · 4 + 6 − 16 = 12 + 6 − 16 = 2. Ответ сошёлся — значит, вычисления верны. Такой самоконтроль очень выручает на контрольных работах и в самостоятельных.

Типичные ошибки

Ошибка первая — нарушенный порядок действий. Ученик видит 2 + 3 · 4 и складывает первым, получая 20 вместо 14. Умножение «сильнее» сложения: 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14.

Ошибка вторая — знак минус перед скобкой. В выражении 10 − (x + 3) при x = 2 многие пишут 10 − 2 + 3 = 11, забывая, что минус меняет знак каждого слагаемого: 10 − (2 + 3) = 10 − 5 = 5.

Ошибка третья — неверная подстановка отрицательного числа. 3a² при a = −2 равно 3 · 4 = 12, а не −12, потому что квадрат «съедает» минус. А вот (−2)³ = −8: здесь знак сохраняется.

Ошибка четвёртая — игнорирование области допустимых значений. Подставив x = 4 в 7 : (x − 4), получают «7 : 0» и пишут ответ 7. Верный вывод другой: при x = 4 выражение смысла не имеет.

Что запомнить

Коротко о главном. Числовое выражение состоит только из чисел и знаков действий — его значение вычисляется один раз и однозначно. Выражение с переменными содержит буквы, и его значение зависит от подставляемых чисел. Порядок действий всегда один: скобки → степень → умножение и деление → сложение и вычитание.

Держи в голове три вещи. Первое: подставляешь отрицательное число — закрывай его в скобки. Второе: следи за знаменателем, он не должен обращаться в нуль. Третье: записывай решение по шагам, чтобы сразу видеть, где ошибка.

Хочешь закрепить тему? Зарегистрируйся в личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий бесплатно — с проверкой и разбором. Так правило уложится в голове намного быстрее, чем от простого перечитывания учебника.