Линейное уравнение: алгоритм решения: задачи с решениями и ответами

Что такое линейное уравнение и как его узнать

Ты открываешь тетрадь, видишь строку 5x − 8 = 2x + 7 и зависаешь: непонятно, с чего начать и что вообще можно делать с этими числами. Знакомая картина и для семиклассника, и для родителя, который вечером пытается помочь с домашкой. Хорошая новость: линейные уравнения решаются одним и тем же алгоритмом, и после короткой тренировки они превращаются в самые «дорогие» баллы на контрольной.

Линейное уравнение — это уравнение, в котором неизвестная входит только в первой степени. Никаких x², корней из x и переменных в знаменателе. Общий вид: ax + b = 0, где a ≠ 0, а b — любое число. Так, 4x − 12 = 0 и 3 − x = 0 — линейные, а x² − 9 = 0, √x = 4 или 5 ÷ x = 1 — уже другие виды уравнений, и решаются они совсем иначе.

Сложный вид не должен пугать: запись 3(x − 2) + 5 = 2x + 11 после раскрытия скобок и приведения подобных сводится к тому же простому ax = c. Поэтому вся тема держится на одном умении — аккуратно упрощать выражение. Дальше разберём алгоритм по шагам, покажем полное решение с дробями и ошибки, из-за которых чаще всего теряются баллы.

Алгоритм решения: пять шагов

Алгоритм простой, и его стоит довести до автоматизма. Шаг 1: раскрой скобки, если они есть. Шаг 2: собери слагаемые с x в левой части, а числа — в правой, при этом при переносе через знак равенства знак меняется на противоположный. Шаг 3: приведи подобные слагаемые, чтобы получилось ax = c. Шаг 4: раздели обе части на коэффициент a, тогда x = c ÷ a. Шаг 5: подставь найденный корень в исходное уравнение и проверь, сходится ли равенство.

Покажем на коротком примере: 5x − 8 = 2x + 7. Переносим слагаемые: 5x − 2x = 7 + 8, получаем 3x = 15, делим обе части на 3 и находим x = 5. Проверка: слева 5 · 5 − 8 = 17, справа 2 · 5 + 7 = 17 — равенство верное, корень найден правильно.

Отдельно запомни два особых случая. Если коэффициент при x оказался равен нулю, уравнение выглядит как 0 · x = c: при c ≠ 0 корней нет, а при c = 0 корнем является любое число. Это не «ошибка в решении», а полноценный ответ, который нужно записать словами.

Один пример разбираем полностью

Возьмём уравнение с дробями — именно такие чаще всего вызывают панику: ⅓x + 2 = ¾x − 3. Дроби не мешают алгоритму, но перед переносом удобно избавиться от знаменателей: умножим обе части на 12 — наименьшее общее кратное чисел 3 и 4. После умножения коэффициенты становятся целыми, и дальше решение идёт по знакомым шагам.

⅓x + 2 = ¾x − 3
Умножаем обе части на 12:
4x + 24 = 9x − 36
Переносим слагаемые с x влево, числа вправо:
4x − 9x = −36 − 24
Приводим подобные:
−5x = −60
Делим обе части на −5:
x = 12
Проверка: ⅓ · 12 + 2 = 4 + 2 = 6; ¾ · 12 − 3 = 9 − 3 = 6 → 6 = 6

Ответ: x = 12. Обрати внимание на два момента: при умножении на 12 умножается каждое слагаемое, включая свободные числа 2 и −3, а при делении на −5 минусы сокращаются. Если ответ получился дробным, например x = 7 ÷ 3, это совершенно нормально — оставляй дробь или переводи в десятичную, если так просят в задании.

Хочешь проверить, насколько уверенно ты держишь шаги? В личном кабинете есть бесплатные задания с автопроверкой: решаешь — сразу видишь, где споткнулся.

Типичные ошибки семиклассников

Большинство ошибок в линейных уравнениях — не про математику, а про невнимательность. Ниже собраны четыре случая, которые встречаются в тетрадях чаще всего: посмотри на таблицу и проверь, нет ли у тебя такой привычки.

Почему перенос вообще меняет знак? Потому что мы прибавляем или вычитаем одно и то же число из обеих частей равенства — сам приём сокращённо называют переносом. Если сомневаешься, распиши действие полностью: равенство не нарушится, а ответ станет очевидным.

Любопытно, что похожие «бытовые» ошибки встречаются и в геометрии — про них мы подробно писали в статье о типичных ошибках в геометрии. Полезно увидеть, что невнимательность работает одинаково в любой теме.

Задачи с решениями и ответами

Теперь потренируемся. Ниже четыре задания разного уровня: два простых, одно со скобками и одно с дробями. Попробуй сначала решить сам, а потом сверься с ходом рассуждений — так навык закрепляется быстрее, чем при простом чтении.

Задача 1. 7x + 3 = 2x − 12
7x − 2x = −12 − 3
5x = −15
x = −3
Ответ: −3

Задача 2. 2(x − 5) = 3x + 4
2x − 10 = 3x + 4
2x − 3x = 4 + 10
−x = 14
x = −14
Ответ: −14

Задача 3: ¾x − 6 = ½x + 1. Умножаем обе части на 4, получаем 3x − 24 = 2x + 4, затем 3x − 2x = 4 + 24, значит x = 28. Задача 4 — текстовая: задуманное число умножили на 4, прибавили 7 и получили 35. Составляем уравнение 4x + 7 = 35, переносим: 4x = 28, откуда x = 7.

Заметь закономерность: любая задача сводится к одному действию — упростить запись до вида ax = c. Если хочешь больше практики, загляни в личный кабинет: там задания идут по возрастанию сложности, от простых до уравнений с дробями.

Что запомнить

Линейное уравнение — это запись вида ax + b = 0, где x стоит в первой степени. Решение всегда проходит пять шагов: раскрыть скобки, перенести слагаемые, привести подобные, разделить на коэффициент, проверить ответ подстановкой. Дроби не меняют алгоритм — просто сначала умножь обе части на общий знаменатель.

Главные враги — невнимательность и спешка: забытый минус, неумноженное слагаемое, деление только одной части. Привычка записывать каждый шаг отдельной строкой экономит нервы на контрольной и упрощает самопроверку.

Если до экзамена осталось мало времени, посмотри материал о подготовке за три дня — там про порядок действий в цейтноте. А закрепить тему лучше всего практикой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно — это займёт минут десять, зато руки запомнят алгоритм.