Преобразование целых выражений: задачи с решениями и ответами

Зачем преобразовывать целые выражения

Ты открываешь тетрадь, видишь (3x - 5)(2x + 4) - x(6x - 1) и понимаешь: шагов много, а ошибку сделать легко. Знакомо? Целые выражения — как раз тот раздел, где аккуратность превращается в баллы. Хорошая новость: правил немного, и все они отрабатываются за пару тренировок.

Целое выражение состоит из чисел, переменных и их степеней, а действия в нём — только сложение, вычитание, умножение и возведение в степень. Деления на переменную здесь нет, поэтому выражение определено при любых значениях букв.

Преобразование — это замена выражения на тождественно равное, то есть такое, которое даёт тот же результат при любых значениях переменных. Цель одна: сделать запись короче и понятнее.

(2x + 3)(x - 4) - x(x + 1)
= 2x² - 8x + 3x - 12 - x² - x
= x² - 6x - 12

Частая ошибка — потерять минус перед скобкой и прибавить x вместо вычитания. Если путаешься со знаками, загляни в разбор почему не получаются уравнения — там та же логика со знаками и переносами.

Раскрытие скобок и подобные слагаемые

Скобки и подобные слагаемые — это примерно 80% всех преобразований в 7 классе. Порядок действий такой.

Сначала раскрой скобки: перед плюсом знаки сохраняются, перед минусом меняются на противоположные. Потом умножь каждый член одной скобки на каждый член другой: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. И только затем приводи подобные: коэффициенты считаются отдельно, буквенная часть переписывается.

5a - (2a - 3b) + 4(a + b)
= 5a - 2a + 3b + 4a + 4b
= 7a + 7b

Типичная ошибка — умножить только первое слагаемое: 3(x + 4) = 3x + 4. Нет, множитель идёт к каждому члену: 3x + 12. Ещё одна ловушка — складывать разные буквы: 3x + 2y ≠ 5xy. Подобные слагаемые имеют полностью совпадающую буквенную часть.

Хочешь проверить себя на коротких примерах? Загляни в личный кабинет и реши несколько тренировочных заданий — там сразу видно, где именно теряется знак.

Формулы сокращённого умножения

Эти семь формул экономят время и уменьшают число ошибок. Их нужно узнавать «в лицо».

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
a² - b² = (a - b)(a + b)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Пример на применение: (3x - 2)² - (x + 5)(x - 5) = 9x² - 12x + 4 - (x² - 25) = 8x² - 12x + 29. Здесь поработали квадрат разности и разность квадратов.

Главная ошибка — написать (a + b)² = a² + b², потеряв 2ab. Вторая: перепутать a² - b² = (a - b)². Квадрат разности даёт три слагаемых, а разность квадратов раскладывается в произведение двух скобок.

Разложение на множители

Разложить на множители — значит превратить сумму в произведение. Порядок всегда один: общий множитель, потом формула, потом группировка.

6x³ - 9x² = 3x²(2x - 3)
x² - 10x + 25 = (x - 5)²
2a + 2b + ax + bx = 2(a + b) + x(a + b)
= (a + b)(2 + x)

Проверяй себя умножением: если после раскрытия скобок получилось исходное выражение, разложение верное. Это быстрый способ поймать ошибку без ответа в конце учебника.

Типичная ошибка — остановиться на середине: 3x² - 12 = 3(x² - 4), хотя скобку можно разложить дальше: 3(x - 2)(x + 2). Разложение считается законченным, только когда каждый множитель больше не раскладывается.

Задачи с решениями и ответами

Ниже — пять типовых заданий. Попробуй решить сам, а потом сверься с таблицей.

Разберём последнее задание полностью, потому что в нём два преобразования подряд.

(x + 4)² - (x - 3)(x + 3)
= x² + 8x + 16 - (x² - 9)
= x² + 8x + 16 - x² + 9
= 8x + 25
при x = 0,5: 8 · 0,5 + 25 = 29

Обрати внимание: квадраты уничтожились, и считать стало легко. Именно для этого и нужны преобразования — они упрощают вычисление. Кстати, такие же навыки пригодятся и в текстовых задачах, где выражение нужно сначала упростить, а потом подставить данные.

Хочешь больше задач с мгновенной проверкой? Зарегистрируйся — и тренируйся в удобном темпе.

Что запомнить

Запомни главное: целое выражение преобразуется тождественно, поэтому его значение при любых x и y не меняется.
Скобки раскрываем умножением каждого члена на каждый, а минус перед скобкой меняет все знаки внутри.
Подобные слагаемые считаем только при совпадающей буквенной части.
Формулы сокращённого умножения работают в обе стороны: сворачивают и разворачивают.
Разложение на множители идёт по порядку: общий множитель, формула, группировка.

Если хотя бы один пункт вызывает сомнение, не двигайся дальше — вернись к примерам выше и проговори шаги вслух. Преобразования держатся на автоматизме, а он появляется только от практики, а не от чтения.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно. Проверка покажет, где именно ты ошибаешься, а разбор объяснит каждый шаг.