Разложение многочлена на множители: вынесение общего множителя: задачи с решениями и ответами

Зачем выносить общий множитель

Бывает так: в контрольной попадается выражение 8a³b − 12a²b² + 20ab³, и руки опускаются — с чего вообще начинать? Знакомая ситуация, и решение есть. Почти в каждом таком примере спасает один приём — вынесение общего множителя за скобки. Это первый и самый универсальный шаг в разложении многочлена на множители, и именно с него начинается большинство заданий в 7 классе.

Что это значит на практике? Если каждое слагаемое делится на одно и то же выражение, его можно вынести вперёд, а в скобках останется результат деления. Простой пример: 3x + 6 = 3(x + 2). Тройка есть в обоих слагаемых, поэтому она уходит за скобку, а каждое слагаемое уменьшается в три раза.

Зачем это нужно? Вынесение превращает сумму в произведение, а произведение удобнее: его проще сократить, подставить значение и решить уравнение. Если пока путаешься в самих преобразованиях, потренируйся отдельно на уравнениях — подробный разбор есть в статье «Задачи на уравнение».

Как найти общий множитель: алгоритм

Чтобы не гадать, действуй по шагам — так надёжнее и быстрее.

Шаг 1. Коэффициенты. Найди наибольший общий делитель чисел. Для 12 и 18 это 6, для 10, 15 и 25 — 5.

Шаг 2. Буквы. Выпиши общие переменные и возьми каждую в наименьшей степени. Если в слагаемых есть x⁵, x³ и x², выносим x².

Шаг 3. Знак. Если первый член отрицательный, удобно вынести минус: −4a − 8 = −4(a + 2).

Шаг 4. Запись. Собери множитель перед скобкой, а внутри оставь результаты деления.

Пример: 15x⁴y − 25x²y³ = 5x²y(3x² − 5y²). Проверяем умножением: 5x²y · 3x² = 15x⁴y, а 5x²y · (−5y²) = −25x²y³. Сходится — значит, вынесено верно.

Разбираем пример полностью

Возьмём выражение 18a³b² − 27a²b³ + 9a²b и разложим его на множители шаг за шагом.

18a³b² − 27a²b³ + 9a²b
НОД(18, 27, 9) = 9 — общий числовой множитель
Буква a есть во всех слагаемых (степени 3, 2, 2) → берём a²
Буква b есть во всех слагаемых (степени 2, 3, 1) → берём b
Общий множитель: 9a²b
= 9a²b(2ab − 3b² + 1)
Проверка: 9a²b · 2ab = 18a³b², 9a²b · (−3b²) = −27a²b³, 9a²b · 1 = 9a²b ✓

Обрати внимание на последнее слагаемое: 9a²b ÷ 9a²b = 1. Именно поэтому в скобке стоит единица, а не ноль — это самая частая потеря в таких примерах.

Второй момент: степень буквы внутри скобки уменьшается. Было a³, стало a²; было b³, стало b²; было b, стало «ничего», то есть единица. Если хотя бы одно слагаемое осталось таким же, как было, — значит, множитель вынесен не полностью.

Типичные ошибки и ловушки

Первая ошибка — потеря единицы. В примере 4x² + 4x общий множитель 4x, и ответ 4x(x + 1). Школьники часто пишут 4x(x), забывая, что от второго слагаемого остаётся 1.

Вторая — неполный вынос. В записи 6a²b + 9ab² − 3ab множитель 3ab, а не 3a: проверь буквы и степени у всех слагаемых сразу, а не только у первых двух.

Третья — вынос «чужого» множителя. Нельзя вынести то, чего нет хотя бы в одном слагаемом: в 5x + 5y + 3z общий множитель не 5, а только 1, и скобка ничего не упростит.

Четвёртая — знак. Если первый член отрицательный, минус удобно вынести за скобку и поменять знаки внутри: −6x² + 12x = −6x(x − 2).

Задачи с решениями и ответами

Разбери таблицу и попробуй решить каждую строку самостоятельно, закрыв третий столбец. Проверка — умножением, как в примере выше. Если ответ совпал, приём освоен; если нет — вернись к шагу 1 и внимательно посмотри на коэффициенты.

Последняя строка особенно полезная: в ней скобка содержит три слагаемых, и единица снова на месте. Заметь, что общим множителем может быть и целое выражение — как (x + y) в четвёртой строке. Чтобы отработать такие случаи до автоматизма, открой бесплатные задания в личном кабинете и реши подборку из пяти примеров подряд.

Что запомнить

Главная мысль: общий множитель — это произведение наибольшего общего делителя коэффициентов и общих букв, взятых в наименьших степенях. Вынести его — значит превратить сумму в произведение, и сделать это до конца, без «остатков» внутри скобки.

Алгоритм короткий: коэффициенты → буквы → знак → проверка умножением. Следи за двумя местами: единица вместо пропавшего слагаемого и уменьшение степеней. Тогда 90% ошибок просто исчезнут.

Привычка записывать каждый шаг отдельной строкой пригодится и на экзамене — аккуратность в решении напрямую влияет на баллы, об этом подробно в статье «Как оформить геометрию на ОГЭ».

Следующий шаг: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно — в личном кабинете проверка приходит сразу, и ты увидишь, где именно теряешь балл.