Решение задач с помощью линейных уравнений

Зачем текстовую задачу переводят в уравнение

Знакомая картина: три предложения, четыре числа и вопрос — а в голове пусто. Кажется, что решение нужно угадать. На самом деле в 7 классе почти любая текстовая задача решается одним и тем же приёмом: неизвестное обозначаем буквой, а условие записываем равенством.

Линейное уравнение — это равенство вида ax + b = 0, где x — неизвестное, а a ≠ 0. В задачах оно появляется так: одну величину берём за x, остальные выражаем через неё и записываем то, что в условии сказано словами.

«Тетрадь дороже ручки на 15 рублей, вместе они стоят 95 рублей». Пусть ручка стоит x рублей, тогда тетрадь — x + 15. Уравнение: x + x + 15 = 95. Дальше — аккуратная арифметика, и ответ готов.

Такая схема снимает главную боль: не надо держать всё в голове, надо только перевести текст на язык математики. Ниже — алгоритм, разбор задачи про движение, задачи на части и проценты, а ещё список ошибок, из-за которых теряются баллы.

Алгоритм: от текста к уравнению за шесть шагов

1. Прочитай задачу дважды и сформулируй, что именно нужно найти.
2. Обозначь искомое через x и сразу подпиши единицы: км, кг, рубли.
3. Вырази остальные величины через x — так, как сказано в условии.
4. Найди фразу, которая связывает всё вместе, и запиши равенство.
5. Реши уравнение: раскрой скобки, собери x слева, числа справа.
6. Проверь ответ по смыслу задачи, а не только по уравнению.

Пример. «В двух коробках 36 конфет, причём в первой в 2 раза больше, чем во второй». Пусть во второй коробке x конфет, тогда в первой — 2x. Уравнение: x + 2x = 36, то есть 3x = 36, x = 12. Во второй коробке 12 конфет, в первой — 24.

Если в условии есть доли, пригодятся правила действий с дробями: одна треть от x — это x · ⅓, а не «x минус 3». Повторить тему можно в статье умножение и деление дробей.

Разбор задачи на движение целиком

Задача. Велосипедист выехал со скоростью 12 км/ч. Через 2 часа вслед за ним отправился мотоциклист со скоростью 36 км/ч. Через сколько часов после своего выезда мотоциклист догонит велосипедиста?

Шаг 1. Искомое — время мотоциклиста t (ч).
Шаг 2. Велосипедист к этому моменту едет t + 2 ч.
Шаг 3. Путь мотоциклиста: 36t. Путь велосипедиста: 12(t + 2).
Шаг 4. В момент встречи пути равны:
36t = 12(t + 2)
36t = 12t + 24
36t − 12t = 24
24t = 24
t = 1
Шаг 5. Проверка: мотоциклист проехал 36 км, велосипедист 12 · 3 = 36 км.
Ответ: через 1 час после выезда мотоциклиста.

Помни главное правило движения: путь = скорость · время. Если кто-то выехал раньше, его время больше на разницу, а путь в момент встречи одинаков. Именно это равенство путей и становится уравнением.

Хочешь закрепить такие задачи на своих числах? В личном кабинете доступны бесплатные тренировочные задания с проверкой.

Задачи на части, проценты и смеси

Процент — это сотая доля числа: 40% от x — это 0,4x. Задачи на части решаются так же, только за x берут одну часть.

Задача. В сплаве 3 части меди и 5 частей цинка, всего 640 г. Сколько меди в сплаве?

3x + 5x = 640
8x = 640
x = 80
Медь: 3 · 80 = 240 г.
Проверка: 8 частей по 80 г дают 640 г.

Если в задаче появляются десятичные дроби, не спеши хватать калькулятор: аккуратная запись в столбик часто быстрее и надёжнее. Освежить навык поможет статья сложение и вычитание столбиком.

Типичные ошибки семиклассников

Первая ошибка — обозначить за x не то, что нужно, и запутаться в выражениях. Вторая — забыть про единицы измерения: километры, часы и граммы удобно подписывать прямо у буквы.

Третья ошибка — скобки. Запись 12(t + 2) превращается в 12t + 24, но никак не в 12t + 2. Четвёртая — перенос слагаемого через знак равенства без смены знака: 36t − 12t = 24, и здесь минус обязателен.

Пятая — отсутствие проверки. Подставь найденное число в условие и посмотри, сходится ли текст задачи: пути равны, сумма величин совпадает, части складываются в целое.

Что запомнить

Решение задачи уравнением держится на четырёх опорах: понятное обозначение x, выражения остальных величин, верное равенство из условия и проверка ответа по смыслу. Уравнение ax + b = 0 при a ≠ 0 имеет единственный корень x = −b ÷ a.

Запомни и рабочий порядок: прочитать, обозначить, выразить, приравнять, решить, проверить. Этот алгоритм одинаково работает для движения, частей, процентов и смесей — меняются только формулы внутри.

Следующий шаг — практика. Зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно: так алгоритм закрепится быстрее, чем от перечитывания примеров.