Просто УрокСумма и разность кубов: формулы: задачи с решениями и ответами
Куб встречается в алгебре реже, чем квадрат, и на нём легко потерять балл: видишь разность кубов и машинально пишешь (a − b)³, а потом пол-урока выясняешь, почему ответ не сходится. Обидно, ведь тему реально освоить за один вечер. Ниже…
Сумма и разность кубов: формулы, которые стоит знать наизусть
Куб встречается в алгебре реже, чем квадрат, и на нём легко потерять балл: видишь разность кубов и машинально пишешь (a − b)³, а потом пол-урока выясняешь, почему ответ не сходится. Обидно, ведь тему реально освоить за один вечер. Ниже — сами формулы, полностью разобранный пример, таблица для самопроверки и задачи с ответами: читай и сразу пробуй, так знание закрепляется быстрее.
Напомним базу: куб числа — это произведение трёх одинаковых множителей, то есть a³ = a · a · a. Отсюда и появляются две формулы сокращённого умножения, которые проходят в 7 классе.
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Второй множитель называют неполным квадратом суммы или разности: он похож на (a + b)², но без удвоения — вместо 2ab стоит просто ab. Формулы можно проверить самому: раскрой скобки, приведи подобные — слагаемые a²b и ab² взаимно уничтожатся, и останется только a³ + b³ или a³ − b³. В этом и смысл: разложение на множители работает в обе стороны, поэтому одна строка решает и прямую, и обратную задачу.
Сумма кубов: как раскладывать без ошибок
Сумма кубов — это два слагаемых, каждое из которых представимо как куб. Первый шаг: понять, чему равно a, а чему b. Второй: аккуратно посчитать a², ab и b².
8x³ + 27 = (2x)³ + 3³ = (2x + 3)(4x² − 6x + 9)
x⁶ + 1 = (x²)³ + 1³ = (x² + 1)(x⁴ − x² + 1)
64 + m³ = 4³ + m³ = (4 + m)(16 − 4m + m²)
Заметь: если a = 2x, то a² = 4x², а ab = 2x · 3 = 6x. Многие теряют коэффициент и пишут просто 3x — и ответ становится неверным. Второй множитель в сумме кубов положительный по краям: a² − ab + b², минус стоит только у среднего члена.
Тренируйся так: выписывай a и b отдельно в столбик, считай a², ab, b² и только потом собирай разложение целиком. В личном кабинете Просто Урок такие шаги отрабатываются с автопроверкой каждого перехода, поэтому ошибка видна сразу, а не через три задания.
Разность кубов: где чаще всего теряются знаки
Разность кубов отличается от суммы только расстановкой знаков, но именно здесь школьники делают больше всего ошибок.
125a³ − 64b³ = (5a)³ − (4b)³ = (5a − 4b)(25a² + 20ab + 16b²)
1 − 8y³ = 1³ − (2y)³ = (1 − 2y)(1 + 2y + 4y²)
27b³ − 1000 = (3b)³ − 10³ = (3b − 10)(9b² + 30b + 100)
Правило знаков простое: первый множитель повторяет знак исходного выражения, а у второго множителя знак перед средним членом противоположен. В разности кубов получается a² + ab + b², в сумме — a² − ab + b².
Главная ошибка — по привычке писать второй множитель как a² − ab + b², копируя формулу суммы. Проверяй себя умножением на одном числовом примере: подставь a = 1, b = 2 и сравни результат до и после разложения.
Разбираем пример целиком: 27x³ − 8
Задача: разложить на множители выражение 27x³ − 8. Идём маленькими шагами, чтобы ничего не потерять по дороге.
Шаг 1. Замечаем два куба: 27x³ = (3x)³, а 8 = 2³
Шаг 2. Значит a = 3x, b = 2
Шаг 3. Считаем: a² = 9x², ab = 3x · 2 = 6x, b² = 4
Шаг 4. Собираем: 27x³ − 8 = (3x − 2)(9x² + 6x + 4)
Проверка: (3x − 2)(9x² + 6x + 4) = 27x³ + 18x² + 12x − 18x² − 12x − 8 = 27x³ − 8
Обрати внимание на порядок: сначала определяем a и b, потом считаем неполный квадрат, и только в конце записываем ответ. Если делать наоборот, легко перепутать знак или забыть множитель. Разбери этим же способом ещё два выражения: 8m³ + 125 и 64 − 27n³, сверяя ответы с формулами из начала статьи.
27x³ − 8 — это не (3x − 2)³ и не (3x)³ − 2³ в ответе. Куб разности и разность кубов — разные формулы: первая даёт три слагаемых с коэффициентами 3 и 3, вторая — произведение двух множителей.
Таблица для самопроверки и типичные ошибки
Держи шпаргалку: сверяй по ней свои записи, пока формула не отложится в памяти.
| Выражение | Разложение | Что проверить |
|---|---|---|
| a³ + b³ | (a + b)(a² − ab + b²) | минус у среднего члена |
| a³ − b³ | (a − b)(a² + ab + b²) | плюс у среднего члена |
| 8 + 125c³ | (2 + 5c)(4 − 10c + 25c²) | a² = 4, ab = 10c, b² = 25c² |
| 0,001 − k³ | (0,1 − k)(0,01 + 0,1k + k²) | десятичные кубы |
Три ошибки, которые встречаются чаще всего: путаница между формулами суммы и разности (средний знак); потеря коэффициента при подсчёте ab; попытка сократить неполный квадрат как обычный. Ещё одна типичная ситуация — выражение не раскладывается, потому что слагаемые не кубы: например, 4x³ + 1 так просто не разложить, ведь 4x³ ≠ (… )³.
Не заучивай формулы как стихотворение. Раз в неделю бери три выражения, раскладывай их по шагам и делай проверку умножением — так через месяц ты будешь узнавать кубы мгновенно, без подглядывания в тетрадь.
Что запомнить и как двигаться дальше
Итог короткий: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²), a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Первый множитель повторяет знак исходного выражения, второй — неполный квадрат, где средний член идёт с противоположным знаком. Чтобы разложить выражение, найди a и b, посчитай a², ab, b² и собери ответ, а в конце проверь умножением.
Техника «увидеть структуру» пригодится дальше везде: похожие приёмы встречаются и при работе с площадями в 8 классе (разбор формул площадей), и в заданиях на свойства равнобедренного треугольника (свойства и признаки). Навык видеть готовую формулу — универсальный.
Следующий шаг простой: зарегистрируйся в личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий бесплатно — с подсказками и мгновенной проверкой. Это лучший способ понять, действительно ли тема закрепилась.
Как закрепить тему после разбора?
Разбери один пример письменно, с проверкой умножением, затем реши 5–7 заданий подряд: три на сумму, три на разность и одно смешанное. Повтори формулы через день и через неделю — так они перейдут в долгую память.
Как понять, что выражение раскладывается по формуле кубов?
Проверь, представимо ли каждое слагаемое как куб: 8 = 2³, 27 = 3³, x⁶ = (x²)³. Если да и между ними плюс или минус — применяй формулу. Если нет, например 4x³, формула не работает.
Можно ли перепутать формулу кубов с квадратами?
Да, и это самая частая ошибка. У квадратов в ответе два множителя с одинаковой структурой, а у кубов второй множитель — неполный квадрат с тремя слагаемыми. Проговаривай про себя: «куб — значит три члена».
Нужны ли эти формулы на экзамене?
Да, разность и сумма кубов встречаются в заданиях на преобразование выражений и в уравнениях, где нужно разложить на множители. Формулу можно вывести самому раскрытием скобок, но знать её наизусть быстрее и надёжнее.
Хочешь понимать предмет уверенно?
Репетитор Просто Урок разбирает сложные темы по шагам и даёт целевые тренировки. Регистрация занимает минуту.