Умножение одночлена на многочлен: задачи с решениями и ответами

Что такое умножение одночлена на многочлен

Скобки в алгебре часто выглядят сложнее самой задачи: непонятно, куда поставить знак и что именно умножать. Здесь ты разберёшь понятный алгоритм и потренируешься на задачах, чтобы уверенно раскрывать скобки в 7 классе.

Одночлен — это число, переменная или их произведение, например 4x, −3a² или ½mn. Многочлен — сумма или разность нескольких одночленов: x + 5, 3a² − 2a + 7.

Главное правило: чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить его на каждый член многочлена, а затем привести подобные слагаемые, если они появились.

3x(2x + 5) → 3x · 2x + 3x · 5
→ 6x² + 15x

Знак перед каждым слагаемым сохраняется. Если одночлен отрицательный, он меняет знак каждого результата. Степени одинаковых букв при умножении складываются: x · x² = x³.

Проверь себя на примере: −2a(3a − 4) = −6a² + 8a. Типичная ошибка — умножить только первый член или забыть минус перед вторым. Полезно мысленно провести стрелку от одночлена к каждому слагаемому.

Алгоритм решения по шагам

Чтобы не ошибаться, действуй всегда в одном порядке. Сначала перепиши выражение без спешки. Затем умножь числовые коэффициенты. После этого перемножь одинаковые буквы, сложив их показатели степеней. В конце раскрой скобки и проверь знаки.

−4b²(2b³ − 3b + 1)
= −4b² · 2b³ + (−4b²) · (−3b) + (−4b²) · 1
= −8b⁵ + 12b³ − 4b²

В первой части −4 · 2 = −8, а b² · b³ = b⁵. Во второй части два минуса дают плюс, поэтому получается 12b³. Последний член просто умножается на 1.

Типичная ошибка — складывать показатели при сложении: b² + b³ не равно b⁵. Показатели складываются только при умножении одинаковых оснований.

Разбор задач с решениями

Начнём с простых выражений, где достаточно распределить множитель. Решай по строкам: так легче увидеть каждый шаг и сравнить его с ответом.

1) 5y(2y − 3) = 10y² − 15y
2) −3c(4c + 7) = −12c² − 21c
3) ½x(6x² − 4x + 8) = 3x³ − 2x² + 4x

В третьем примере дробный коэффициент сокращается с числами внутри скобок: ½ · 6 = 3, ½ · 4 = 2, ½ · 8 = 4. Буква x при этом остаётся у каждого результата.

Попробуй задачу: 7m(−m + 3). Ответ: −7m² + 21m. Типичная ошибка — записать −7m² − 21m, хотя второй член содержит произведение двух положительных чисел: 7m · 3.

Для дополнительной тренировки вычислений можно заглянуть в материал про проценты: навыки работы с коэффициентами пригодятся и там.

Сложные случаи и типичные ошибки

Особое внимание нужно уделять скобкам с минусом, нескольким переменным и дробным коэффициентам. Правило остаётся тем же: множитель распределяется по всем слагаемым, а буквы перемножаются отдельно.

−2pq(3p² − 4q + 5)
= −6p³q + 8pq² − 10pq

Например, в первом результате p · p² = p³, а q остаётся без пары. Во втором −2 · −4 = 8, p сохраняется, а q · q = q². Нельзя сокращать буквы, если они не стоят в числителе и знаменателе дроби.

Реши самостоятельно: 3x²(2x − y + 4). Получится 6x³ − 3x²y + 12x². Проверь число слагаемых: после умножения их должно быть столько же, сколько было в многочлене.

Ещё одна ошибка — неверно складывать подобные слагаемые. 4x² и 4x нельзя объединить: степени разные. А вот 3a + 5a = 8a.

Отработка: задачи с ответами

Теперь попробуй решить примеры самостоятельно, закрыв правую часть. Сначала распредели множитель, затем проверь коэффициенты, степени и знаки. Если ответ отличается, найди именно строку, где появилась ошибка.

1) 4t(3t + 2) = 12t² + 8t
2) −5z(2z − 1) = −10z² + 5z
3) 2ab(a − 3b + 4) = 2a²b − 6ab² + 8ab
4) −½n(8n² + 6n − 2) = −4n³ − 3n² + n

В задаче 3 переменная a умножается на a в первом слагаемом, а b остаётся множителем. Во втором b умножается на b, поэтому появляется b². В задаче 4 удобно сначала умножить дробь на коэффициенты, а затем добавить букву n.

Типичная ошибка в самостоятельной работе — переписать букву не к тому члену. Сверяй каждый результат с исходным слагаемым: количество букв и их степени должны быть понятны.

Если хочется системно закрепить навык, в личном кабинете доступна бесплатная практика: можно решать задания в удобном темпе и возвращаться к сложным примерам.

Для связи с дальнейшей алгеброй полезно посмотреть материал о системах неравенств: раскрытие скобок встречается и при преобразовании неравенств.

Что запомнить

Умножение одночлена на многочлен строится на распределительном свойстве: a(b + c) = ab + ac. Умножай внешний одночлен на каждый член скобок, внимательно следи за знаками, складывай показатели только у одинаковых букв при умножении.

−3x(2x² − x + 4)
→ −6x³ + 3x² − 12x

Перед окончательным ответом сделай три проверки: слагаемых столько же, сколько в исходном многочлене; знаки соответствуют правилам; степени букв посчитаны верно. Если появились подобные слагаемые, объедини их только после раскрытия скобок.

Типичная ошибка — пытаться умножить только числа и забыть переменные. Запиши хотя бы один промежуточный шаг: он сразу покажет, где потерялась буква или знак.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в практике «Просто Урок». После этого возвращайся к примерам, где ошибся, и реши их ещё раз без подсказки.