Возведение в степень произведения и степени

Почему правило степени произведения экономит время

Ты открываешь учебник, видишь выражение (3x)⁴ и замираешь: раскрывать скобку четыре раза подряд или есть короткий путь? Именно здесь в 7 классе начинается путаница, из-за которой теряются баллы на контрольных. Хорошая новость: правила возведения в степень произведения и степени заменяют громоздкую запись двумя строчками. Ниже разберём оба правила по шагам, решим полный пример и разберём ошибки, которые встречаются чаще всего.

Сначала вспомним базу. Степень aⁿ — это произведение n одинаковых множителей a. Например, x³ = x·x·x, а 5² = 5·5 = 25. Здесь a — основание, n — показатель. Всё дальнейшее опирается на это определение: любое новое правило можно проверить, просто расписав произведение руками.

Зачем это нужно? Дальше будут одночлены, многочлены, формулы сокращённого умножения, а в 8 классе — дроби и уравнения. Если сейчас не научиться аккуратно обращаться со степенями, ошибки потянутся дальше. Кстати, о дробях полезно освежить материал в статье как объяснить дроби на кухне, а когда дойдёшь до уравнений — пригодится разбор дробно-рациональных уравнений.

Степень произведения: (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ

Правило звучит так: степень произведения равна произведению степеней множителей. Проверим на маленьком примере: (2·3)² = 6² = 36, и одновременно 2²·3² = 4·9 = 36. Результаты совпали, значит правило работает.

Почему так? Распишем определение: (a·b)³ = (a·b)·(a·b)·(a·b). Уберём лишние скобки и переставим множители: a·a·a·b·b·b = a³·b³. Множителей a ровно три и множителей b ровно три — скобка повторяется три раза, поэтому каждая буква встречается столько же раз.

(2x)⁴ = 2⁴ · x⁴ = 16x⁴
(−3ab)² = (−3)² · a² · b² = 9a²b²
(0,5xy)³ = 0,5³ · x³ · y³ = 0,125x³y³

Обрати внимание на второй пример: минус в чётной степени даёт плюс. Правило работает для любого числа множителей: (abc)ⁿ = aⁿbⁿcⁿ. Его читают и справа налево, когда нужно собрать одинаковые показатели: 2³·5³ = (2·5)³ = 10³ = 1000. Такой приём заметно сокращает вычисления.

Возведение степени в степень: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ

Второе правило: при возведении степени в степень основание остаётся тем же, а показатели перемножаются. Пример: (x²)³ = x²·x²·x² = x⁶, и по правилу 2·3 = 6. Всё сходится.

Здесь важно не перепутать два действия. Запись x²·x³ — это умножение степеней с одинаковым основанием, показатели складываются: x⁵. А запись (x²)³ — возведение степени в степень, показатели перемножаются: x⁶. Разница только в скобках, а результат разный.

(a³)² = a⁶
(y⁵)⁴ = y²⁰
(2x²)³ = 2³ · (x²)³ = 8x⁶
((−m)²)³ = (−m)⁶ = m⁶

Разбор примера целиком

Упростим выражение (−2a²b)³ · (a³)². Порядок действий такой: сначала степени, потом умножение. Каждый шаг подписываем, чтобы не потерять знаки и показатели.

(−2a²b)³ · (a³)²
1) (−2a²b)³ = (−2)³ · (a²)³ · b³ = −8a⁶b³ — степень произведения
2) (a³)² = a⁶ — степень степени
3) −8a⁶b³ · a⁶ = −8a¹²b³ — умножение степеней, показатели складываем

Проверим первый шаг подробнее. Множителей в скобке три: −2, a² и b. Каждый возводим в третью степень. (−2)³ = −8, потому что нечётная степень сохраняет знак. (a²)³ = a⁶ по правилу степени в степени. Множитель b в первой степени даёт b³. Итого −8a⁶b³.

На третьем шаге умножаем a⁶ на a⁶. Основание одинаковое — a, значит показатели складываются: 6 + 6 = 12. Множитель b³ остаётся без изменений, ведь второго b в выражении нет. Ответ: −8a¹²b³. Именно так оформляют решение на контрольной: проверяющий видит логику, а ты не теряешь знаки по дороге.

Типичные ошибки и как их избежать

Большинство ошибок в этой теме — не от незнания правила, а от спешки и невнимательности к скобкам. Вот четыре самые частые, которые встречаются в тетрадях почти каждый урок.

Таблица короткая, но каждая строка — это потерянный балл. Пройдись по ней перед контрольной, а лучше перепиши своими словами в тетрадь-справочник: то, что написано своей рукой, запоминается прочнее.

Что запомнить

Собираем выжимку. Первое: (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ — степень произведения равна произведению степеней. Второе: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ — при возведении степени в степень показатели перемножаются. Третье: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются.

Четвёртое: следи за скобками и знаком. (−2a)² = 4a², а −2a² — совсем другое выражение. Пятое: любое правило проверяется на маленьких числах — подставь 2 или 3 и сравни результаты. Этот приём выручает на контрольной, когда формула вылетела из головы.

Что дальше? Теория усваивается только через практику. Зарегистрируйся в личном кабинете Просто Урок и реши 5 заданий бесплатно — они подобраны ровно по этой теме, с проверкой и подсказками. Пятнадцать минут работы, и уверенность перед контрольной появится уже после первого задания.