Как строить графики функций со сдвигом: контрольная работа с ответами

1. Что такое сдвиг графика

Если график функции кажется знакомым, но его вершина или пересечение с осями оказались в другом месте, скорее всего, произошёл сдвиг. На контрольной важно не строить таблицу значений заново, а увидеть изменение в формуле и перенести знакомую линию или параболу. В этой статье разберём правила, решим пример и потренируемся на заданиях с ответами.

Начнём с базовой функции y = f(x). Выражение y = f(x) + b сдвигает её вверх на b единиц при b > 0 и вниз на |b| единиц при b < 0. Выражение y = f(x − a) переносит график вправо на a, а y = f(x + a) — влево на a.

y = x² → y = x² + 3: вверх на 3
y = x² → y = (x − 2)²: вправо на 2
y = x² → y = (x + 1)² − 4: влево на 1 и вниз на 4

Типичная ошибка — перепутать знак внутри скобок. Снаружи знак читается прямо, внутри действует наоборот. Полезно отмечать вершину параболы: у y = (x − a)² + b она имеет координаты (a; b). Дополнительно повторить работу с параметрами можно в разборе про параметры.

2. Алгоритм построения по шагам

Удобный алгоритм помогает не терять баллы из-за спешки. Сначала определи базовый график: прямую y = x, параболу y = x², гиперболу y = 1 ÷ x или график корня. Затем выпиши сдвиги отдельно: горизонтальный и вертикальный. После этого перенеси несколько опорных точек и соедини их плавно.

Для параболы достаточно знать вершину и симметричные точки. Базовые точки y = x²: (0; 0), (1; 1), (−1; 1), (2; 4), (−2; 4). При переносе вправо на 2 и вверх на 1 они превращаются в (2; 1), (3; 2), (1; 2).

y = (x − 2)² + 1
вершина: (2; 1)
(1; 2), (3; 2), (0; 5), (4; 5)

Ошибка возникает, когда ученик переносит только вершину, но забывает изменить остальные точки. Проверяй симметрию относительно вертикальной оси x = 2. Если в формуле есть коэффициент перед скобками, сначала учитывай растяжение или сжатие, а затем сдвиг. Для самостоятельной практики можно открыть бесплатные задания в личном кабинете.

3. Полностью разобранный пример

Построим график функции y = (x + 1)² − 2. За основу берём параболу y = x². Слагаемое +1 внутри скобок означает сдвиг влево на 1, а число −2 снаружи — сдвиг вниз на 2. Значит, вершина базовой параболы (0; 0) перейдёт в точку (−1; −2).

y = (x + 1)² − 2
сдвиг: влево на 1, вниз на 2
вершина: (−1; −2)
x = −2 → y = −1
x = 0 → y = −1
x = −3 → y = 2
x = 1 → y = 2

Нанесём вершину и четыре точки: (−2; −1), (0; −1), (−3; 2), (1; 2). Они симметричны относительно прямой x = −1. Соединяем точки плавной U-образной линией, направленной вверх, потому что коэффициент при квадрате положительный.

Типичная ошибка — назвать вершиной точку (1; −2), будто знак внутри скобок сохраняется. Быстрая проверка: координата вершины получается из выражения x + 1 = 0, значит x = −1. Подробные действия с дробными выражениями пригодятся также в статье про рациональные дроби.

4. Контрольная работа с ответами

Реши задания самостоятельно, а затем сравни результат. В первом задании укажи сдвиг и вершину. Во втором найди координаты нескольких точек. В третьем определи формулу по описанию. В четвёртом проверь, как изменяется прямая. Запись ответа должна быть краткой, но содержать вычисления.

Типичная ошибка в задании 2 — подставить x = 0 только в скобку и забыть −1. Всегда вычисляй всю правую часть. После проверки объясни себе каждую строку: это помогает заметить не случайный ответ, а устойчивое понимание.

5. Типичные ошибки и самопроверка

Первая ошибка — неверно читать горизонтальный сдвиг: y = f(x − 5) переносит график вправо, а не влево. Вторая — смешивать координаты точки: сначала выбирай x, затем вычисляй y. Третья — рисовать ломаную вместо плавного графика. Четвёртая — забывать область определения, особенно у корня и дробной функции.

Проведи самопроверку по трём вопросам. Где находится вершина или центр? Сохранилась ли форма базового графика? Совпадает ли направление ветвей с коэффициентом? Например, в y = −(x − 1)² + 4 вершина (1; 4), но ветви направлены вниз.

y = −(x − 1)² + 4
вершина: (1; 4)
x = 0 → y = 3
x = 2 → y = 3

Ловушка — считать число − перед скобками сдвигом. Это не перенос, а отражение параболы относительно оси Ox. Если сомневаешься, проверь одну точку подстановкой. Для дополнительной тренировки используй личный кабинет с бесплатной практикой.

6. Что запомнить

Сдвиг вверх или вниз читается по числу вне скобок: y = f(x) + b. Сдвиг вправо или влево определяется выражением внутри: y = f(x − a) — вправо, y = f(x + a) — влево. Для параболы y = (x − a)² + b вершина сразу равна (a; b). Сначала узнай базовую форму, затем перенеси точки.

Мини-пример: функция y = (x − 4)² − 3 имеет вершину (4; −3), сдвинута вправо на 4 и вниз на 3. Точка с x = 5 имеет y = −2, потому что (5 − 4)² − 3 = −2. Значит, точка (5; −2) действительно лежит на графике.

Не пытайся запомнить рисунок целиком: держи в голове алгоритм и проверяй знак подстановкой. Зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете — так правило закрепится на практике.