Задачи на движение и работу с дробями

Почему движение и работа пугают сильнее всего

Ты открываешь задачу: «Велосипедист выехал…», «Двое рабочих красят…» — и не понимаешь, с чего начать. Знакомо? Дело обычно не в арифметике. Условие нужно превратить в уравнение: разбить текст на шаги, обозначить неизвестное, связать между собой величины. Отдельным правилом этому не учат, и потому тема кажется непроходимой.

Хорошая новость: у задач на движение и на работу одна и та же логика. Есть интенсивность процесса и есть время, а результат — их произведение. Освоив этот каркас, ты начнёшь видеть за текстом обычное уравнение, а не набор случайных чисел. Дроби здесь не украшение, а рабочий инструмент: именно они превращают вопрос «сколько часов?» в решаемую запись.

В статье — пошаговый алгоритм, полный разбор задачи с дробями, таблица сравнения и разбор ловушек, на которых сыплются даже сильные восьмиклассники. После чтения закрепи навык на бесплатных заданиях: тренажёр в личном кабинете открыт без оплаты.

Движение: одна формула, три величины

Любая задача на движение держится на связи «путь = скорость × время», то есть s = v · t. Из неё мгновенно получаются две другие: v = s ÷ t и t = s ÷ v. Прежде чем что-то обозначать, выпиши эти три буквы и подумай, какие две величины из трёх известны или легко выражаются через x.

Главный приём — таблица «скорость — время — путь», заполненная по строчкам. Обычно за x берут время, а путь приравнивают, если оба участника прошли одно и то же расстояние.

Пешеход: скорость 4 км/ч, время x ч → путь 4x км
Велосипедист: скорость 12 км/ч, время (x − 1) ч → путь 12(x − 1) км
Путь одинаковый → 4x = 12(x − 1)
4x = 12x − 12 → 8x = 12 → x = 1,5 ч
Проверка: 4 · 1,5 = 6 км и 12 · 0,5 = 6 км ✓

Проверяй ответ словами, подставляя его в условие. Это две минуты, зато ошибка в составлении уравнения видна сразу.

Работа: та же схема, другие названия

Работа устроена точно так же, только вместо пути — весь объём работы, а вместо скорости — производительность, то есть часть работы за единицу времени. Весь объём удобно считать за 1. Тогда производительность равна 1 ÷ t: если мастер делает заказ за 4 часа, он выполняет ¼ работы в час.

Совместная работа складывается по производительностям, а не по времени: 1/t₁ + 1/t₂ = 1/t₀, где t₀ — время, за которое справятся вдвоём.

Пример: первый насос наполняет бассейн за 6 ч, второй — за 3 ч. Вместе: ⅙ + ⅓ = ⅙ + 2/6 = 3/6 = ½, значит время 1 ÷ ½ = 2 ч. Типичная ошибка — написать 6 + 3 = 9 или (6 + 3) ÷ 2 = 4,5 ч. Оба ответа неверны: складывать нужно интенсивность процесса.

Разбор задачи с дробями от начала до ответа

Условие: первый рабочий выполняет заказ на 5 часов быстрее второго, а вместе они делают его за 6 часов. За сколько часов справится каждый?

Шаг 1. Неизвестное. Пусть первый работает x часов, тогда второй — x + 5 часов. Шаг 2. Производительности: первый 1 ÷ x, второй 1 ÷ (x + 5), вместе 1 ÷ 6. Шаг 3. Уравнение и решение.

1/x + 1/(x + 5) = 1/6, где x ≠ 0 и x ≠ −5
Умножаем обе части на 6x(x + 5):
6(x + 5) + 6x = x(x + 5)
6x + 30 + 6x = x² + 5x
x² − 7x − 30 = 0
D = 49 + 120 = 169, √169 = 13
x = (7 + 13) ÷ 2 = 10 или x = (7 − 13) ÷ 2 = −3
Корень −3 отбрасываем: время не бывает отрицательным
Проверка: 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6 ✓
Ответ: первый — 10 ч, второй — 15 ч

Обрати внимание: после умножения на произведение знаменателей получилось квадратное уравнение. Это нормально. Не забывай только сразу выписать ограничения на x и в конце проверить, подходит ли корень по смыслу задачи.

Типичные ошибки и как их избежать

Первая ошибка — складывать время вместо производительностей. «Быстрее вместе» означает сумму скоростей: 1/t₁ + 1/t₂ = 1/t₀, а не t₁ + t₂. Вторая — потеря ограничений: x ≠ 0, x ≠ −5, иначе дробь теряет смысл. Третья — невнимательное чтение условия: «на 5 часов быстрее» даёт x − 5, а «в 5 раз быстрее» — x ÷ 5. Это совершенно разные модели.

Четвёртая — единицы измерения: минуты и часы в одном уравнении дают бессмыслицу. Пятая — движение по реке: по течению скорость v + u, против течения v − u, где u — скорость течения. Шестая — остановки в пути: время стоянки не входит в путь, но входит в общее время.

Если такие задачи даются тяжело из раза в раз, стоит понять, когда ребёнку действительно нужен репетитор — разбор читайте в статье «Когда ребёнку нужен репетитор по математике». А отработать алгоритм до автоматизма можно на бесплатных заданиях с проверкой.

Что запомнить

Итог короткий. В задачах на движение работают связи s = v · t, v = s ÷ t, t = s ÷ v. В задачах на работу весь объём берут за 1, а производительность считают как 1 ÷ t. Совместная работа — это сумма производительностей: 1/t₁ + 1/t₂ = 1/t₀. Встречное движение — сумма скоростей, движение по реке — v + u по течению и v − u против. Всегда выписывай ограничения на неизвестное и отбрасывай корни, которые противоречат смыслу: отрицательное время, нулевая скорость, слишком большое значение.

И главное — не решай задачу «в голове». Таблица, уравнение, проверка. Три шага, которые превращают текст в ответ.

Следующий шаг: зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно — начать практику. А если хочется понять, почему одни условия кажутся неподъёмными, посмотрите разбор «Не понимаю параметр».