Арифметическая прогрессия: формула n-го члена

Что такое арифметическая прогрессия

Знакомая картина: в тетради записано «3; 7; 11; 15…», а нужно найти сотый член — и ты честно складываешь по одному, теряя время и уверенность. Хорошая новость: арифметическая прогрессия устроена так просто, что одна формула заменяет сотню сложений. Разберём её по шагам, чтобы на уроке, контрольной и ОГЭ ты решал такие номера за минуту.

Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждое следующее число получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа d. Его называют разностью прогрессии. Члены обозначают a₁, a₂, …, aₙ, где n — номер члена. Разность находят вычитанием: d = a₂ − a₁. Если d > 0, прогрессия возрастает; если d < 0 — убывает; при d = 0 все члены равны.

Дано: 3; 7; 11; 15; …
d = a₂ − a₁ = 7 − 3 = 4
a₃ = 7 + 4 = 11 → сходится
a₄ = 11 + 4 = 15 → сходится

Проверять разность по двум соседним парам — полезная привычка. Но сначала убедись, что шаг одинаков на всём участке: иногда последовательность только выглядит ровной. Короткие тренировочные наборы с мгновенной проверкой есть в личном кабинете.

Формула n-го члена

Главная формула темы выглядит так: aₙ = a₁ + d(n − 1). Здесь a₁ — первый член, d — разность, n — номер нужного члена. Обрати внимание на (n − 1): от первого члена до n-го ровно n − 1 шагов, а не n. Эта единица — источник половины ошибок в контрольных.

aₙ = a₁ + d(n − 1)
a₁₀ = a₁ + 9d
a₂₅ = a₁ + 24d
aₙ₊₁ = aₙ + d

Обратные величины выражаются из той же формулы: a₁ = aₙ − d(n − 1), d = (aₙ − a₁) ÷ (n − 1), n = (aₙ − a₁) ÷ d + 1. Заучивать их отдельно не нужно — умей аккуратно выразить неизвестное из основного равенства. Меньше заученных формул — меньше путаницы на экзамене, где волнение мешает вспоминать.

Проверим на числах: при a₁ = 3 и d = 4 получаем a₅ = 3 + 4 · 4 = 19, и это совпадает с ручным счётом 3; 7; 11; 15; 19. Такую сверку делай всегда, когда есть время: она ловит опечатки.

Откуда берётся формула

Почему формула работает? Смотри: a₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d = a₁ + 2d, a₄ = a₁ + 3d. Коэффициент при d всегда на единицу меньше номера члена. Значит, aₙ = a₁ + d(n − 1). Этот вывод стоит уметь повторить самому — тогда формула не забудется даже через год.

a₂ = a₁ + d = a₁ + 1 · d
a₃ = a₁ + 2d
a₄ = a₁ + 3d
→ aₙ = a₁ + d(n − 1)

Алгоритм решения: выпиши a₁ и d, подставь их в формулу, аккуратно раскрой скобки, проверь ответ на маленьком номере. Например, a₁ = 5, d = −3, нужно a₂₀. Получаем a₂₀ = 5 + (−3)(20 − 1) = 5 − 57 = −52.

Если даны два члена, например a₄ и a₉, сначала находи д, а потом a₁. Похожие формулировки встречаются в вариантах ОГЭ — разбор есть в статье про повторение задания 14.

Разобранный пример и таблица величин

Разберём задачу целиком. Условие: a₃ = 11, a₇ = 27. Найти a₁, d и a₁₅.

a₇ = a₃ + 4d
27 = 11 + 4d
4d = 16
d = 4
a₁ = a₃ − 2d = 11 − 8 = 3
a₁₅ = a₁ + 14d = 3 + 14 · 4 = 59
Ответ: d = 4, a₁ = 3, a₁₅ = 59

Ключевой шаг — переход от a₃ к a₇ занимает 4 шага, поэтому в уравнении стоит 4d. Проверка: 3; 7; 11; 15; 19; 23; 27 — седьмой член действительно 27. Такая самопроверка занимает секунды и спасает от потери баллов.

Держи таблицу под рукой, пока решаешь: она подсказывает, какое преобразование нужно. Через несколько задач ты заметишь, что все четыре строки — одна и та же формула.

Типичные ошибки

Ошибка №1 — подставлять n вместо n − 1. Ошибка №2 — терять минус при отрицательной разности: при a₁ = 5 и d = −3 двадцатый член равен −52, а не 32.

Ошибка №3 — путать номер члена с его значением: n — это место в ряду, aₙ — само число. Ошибка №4 — забывать, что разность может быть дробной или отрицательной. Ошибка №5 — не проверять правдоподобность результата: если в возрастающей прогрессии пятнадцатый член меньше десятого, где-то сбой.

Ещё один момент: в задачах по физике на равноускоренное движение скорость меняется как раз по такому закону. Если физика в планах, загляни в разбор демоверсии ЕГЭ по физике — там видно, откуда берутся эти формулы.

Что запомнить

Итог короткий. Арифметическая прогрессия задаётся первым членом и разностью. Формула n-го члена: aₙ = a₁ + d(n − 1). Разность: d = a₂ − a₁. Из одного равенства выражаются все остальные величины, и запоминать их по отдельности не нужно.

Что делать дальше? Возьми пять задач и реши их с проверкой: одна — на нахождение aₙ, одна — на нахождение d, одна — на a₁, одна — с двумя известными членами, одна — на номер члена. Такой набор закрывает почти все формулировки ОГЭ.

Начни с бесплатной практики: зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий с автопроверкой — ошибки разберутся сразу, а не через неделю. Регулярность важнее длинных марафонов: пятнадцать минут в день дают больше, чем три часа перед контрольной.