Целые уравнения и их корни: задачи с решениями и ответами

Что такое целое уравнение и что называют его корнем

Знакомая история: раскрыл скобки, привёл подобные, получил красивое число — а при проверке оно не подошло. Дело чаще всего не в арифметике, а в том, что уравнение не было целым или в ответ пробрался посторонний корень. Разберём по шагам, как устроены целые уравнения, где искать их корни и как не терять баллы на ровном месте. Материал пригодится и девятиклассникам, и тем, кто готовится к экзамену.

Целое уравнение — это уравнение, у которого и левая, и правая части являются целыми выражениями, то есть многочленами. Переменная не стоит в знаменателе, не сидит под знаком корня и не входит в показатель степени. Так, 5x − 3 = 2x + 9, x² − 4x = 0 и x³ + 2x² − x = 0 — целые, а 1 ÷ x = 5 и √x = 3 — нет.

x² − 5x + 6 = 0
Подставим x = 2: 2² − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 — верно.
Подставим x = 4: 4² − 5 · 4 + 6 = 16 − 20 + 6 = 2 ≠ 0 — не корень.
Ответ: x₁ = 2, x₂ = 3.

Корень уравнения — число, которое при подстановке даёт верное числовое равенство. Степень подсказывает лишь максимум корней: у квадратного их не больше двух, у кубического — не больше трёх. Типичная ошибка — думать, что корней ровно столько. Уравнение x² + 1 = 0 не имеет действительных корней вовсе, а (x − 3)² = 0 имеет один корень, хотя степень вторая.

Разложение на множители: главный рабочий приём

Основной способ решить целое уравнение выше первой степени — разложить его на множители. Логика простая: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Значит, переносим всё в левую часть, раскладываем её на скобки и решаем несколько коротких уравнений вместо одного громоздкого.

x³ − 4x = 0
x(x² − 4) = 0
x(x − 2)(x + 2) = 0
x₁ = 0, x₂ = 2, x₃ = −2

Когда слагаемых четыре, работает группировка: x³ + 2x² − x − 2 = x²(x + 2) − (x + 2) = (x + 2)(x² − 1) = (x + 2)(x − 1)(x + 1), корни −2, −1 и 1. Здесь нужны уверенные навыки вынесения общего множителя и формул сокращённого умножения — они закладываются ещё в средней школе, поэтому полезно освежить базу: как подготовиться к 7 классу по математике.

Самая дорогая ошибка — делить обе части на x. Так ты молча теряешь корень x = 0. Делить допустимо только на выражение, про которое точно известно, что оно не равно нулю; во всех остальных случаях множитель выносим и приравниваем к нулю.

Замена переменной и биквадратные уравнения

Если выражение повторяется в разных степенях, удобно ввести новую переменную. Классический пример — биквадратное уравнение вида ax⁴ + bx² + c = 0, где после замены t = x² получается обычное квадратное уравнение.

x⁴ − 13x² + 36 = 0
Пусть t = x², тогда t² − 13t + 36 = 0
D = 169 − 144 = 25, √25 = 5
t₁ = (13 + 5) ÷ 2 = 9, t₂ = (13 − 5) ÷ 2 = 4
Обратная замена: x² = 9 → x = ±3; x² = 4 → x = ±2
Ответ: −3; −2; 2; 3.

Ключевой шаг — обратная замена: найденные значения t нужно вернуть к исходной переменной. Забыть про неё значит потерять вообще все корни и получить ноль баллов за верные в целом вычисления. Плюс следи за условием t ≥ 0, если t обозначает квадрат: отрицательный корень квадратного уравнения сразу отбрасываем.

Похожим образом решаются уравнения с повторяющейся скобкой, например (x² + 3x)² − 2(x² + 3x) − 8 = 0: обозначаем t = x² + 3x, решаем квадратное, а затем возвращаемся к исходному. Потренировать такие цепочки удобно на бесплатной практике в личном кабинете — задания там идут от простых к сложным, и видно, на каком шаге ты спотыкаешься.

Уравнения с переменной в знаменателе и ОДЗ

Если переменная встречается в знаменателе, уравнение уже не целое, но его часто можно свести к целому. Алгоритм такой: находим область допустимых значений, умножаем обе части на общий знаменатель, решаем получившееся целое уравнение и отбрасываем корни, не попавшие в ОДЗ.

(x² − 9) ÷ (x − 3) = 0
ОДЗ: x − 3 ≠ 0, то есть x ≠ 3
x² − 9 = 0 → (x − 3)(x + 3) = 0 → x = 3 или x = −3
x = 3 не входит в ОДЗ → отбрасываем
Ответ: x = −3.

Частая ошибка — сократить (x − 3) в числителе и знаменателе и сразу написать x + 3 = 0. Ответ случайно совпадёт, но обоснование потеряно, а на экзамене за пропущенный запрет x ≠ 3 снижают балл. Второй промах — не проверять кандидатов по ОДЗ: каждое найденное число подставляй в знаменатели, и если хоть один обращается в ноль, корень посторонний.

Задачи с решениями: таблица и полный разбор

Ниже — сводка, которая помогает быстро выбрать метод, и один пример, разобранный целиком: в нём встречаются сразу группировка и формула разности квадратов.

Решить уравнение x³ − 3x² − 4x + 12 = 0
Шаг 1. Группируем: (x³ − 3x²) − (4x − 12) = x²(x − 3) − 4(x − 3).
Шаг 2. Выносим общий множитель: (x − 3)(x² − 4) = 0.
Шаг 3. Раскладываем разность квадратов: (x − 3)(x − 2)(x + 2) = 0.
Шаг 4. Приравниваем каждый множитель к нулю.
x − 3 = 0 → x = 3; x − 2 = 0 → x = 2; x + 2 = 0 → x = −2.
Проверка: 27 − 27 − 12 + 12 = 0; 8 − 12 − 8 + 12 = 0; −8 − 12 + 8 + 12 = 0.
Ответ: −2; 2; 3.

Отдельная ловушка — знак при вынесении минуса: −4x + 12 = −4(x − 3), а не −4(x + 3). Одна описка в знаке — и целый корень исчезает из ответа. Если теряешь баллы из-за невнимательности в записи, а не из-за математики, посмотри разбор 5 ошибок в ОГЭ по русскому: правило «перечитай то, что написал» работает в алгебре точно так же. Закрепить метод можно на бесплатных заданиях с автопроверкой.

Что запомнить

Итог короткий. Целое уравнение решается в три шага: привести к виду «многочлен = 0», разложить на множители, приравнять каждый множитель к нулю. Если видишь четвёртую степень и только чётные степени переменной — вводи замену t = x² и не забудь про обратный переход. Если переменная попала в знаменатель — начинай с ОДЗ, а не с вычислений.

Держи в голове четыре запрета и правила: не дели на выражение с переменной, всегда делай обратную замену, проверяй корни по ОДЗ, перечитывай знаки при группировке. Этого достаточно, чтобы уверенно решать задания базового и повышенного уровня.

Следующий шаг — практика. Зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно: в личном кабинете задания подобраны по теме, а проверка сразу показывает, где ошибка. Короткая тренировка каждый день работает лучше, чем один длинный разбор раз в неделю.