Элементы комбинаторики: перестановки и сочетания: задачи с решениями и ответами

Перестановки: когда порядок важен

Открываешь задачу по комбинаторике и не понимаешь, какую формулу брать — перестановки или сочетания? Числа вроде простые, а ответ не сходится. Дальше разберём по шагам, как за пять секунд определить тип задачи и получить верный ответ без зубрёжки. А если захочется проверить себя на своих примерах, загляни в личный кабинет — там задания с автоматической проверкой.

Перестановка — это расположение всех n элементов в определённом порядке. Порядок здесь главный: поменяли два элемента местами — получили новую перестановку. Число перестановок из n различных элементов считают по формуле P(n) = n! Знак «!» означает факториал — произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Например, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Отдельно договариваются: 1! = 1 и 0! = 1.

Пример. Сколькими способами можно расставить 5 разных учебников в ряд на полке? Все книги различны, участвуют все, порядок важен → P(5) = 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120 способов.

Типичная ошибка: путать перестановку с выбором части элементов. В перестановке участвуют все n элементов без исключения. Если ты берёшь только часть, работает другая модель, и «просто n!» здесь не подойдёт.

Ещё один ориентир: слова «в ряд», «по порядку», «расставить», «очередь», «расписание» почти всегда указывают на перестановки. И помни, что факториал растёт стремительно: 5! = 120, а 8! = 40 320.

Сочетания: выбор, где порядок не важен

Сочетание — это выбор k элементов из n, при котором порядок не играет роли. Набор «Аня, Боря, Вера» и набор «Вера, Боря, Аня» — одно и то же сочетание. Формула такая: C(n, k) = n! ÷ (k! · (n − k)!). Читается «це из эн по ка».

Пример. Сколькими способами из 10 учеников выбрать 3 дежурных? Порядок не важен, берём часть → C(10, 3) = 10! ÷ (3! · 7!) = (8 · 9 · 10) ÷ (1 · 2 · 3) = 720 ÷ 6 = 120.

Типичная ошибка: посчитать сочетание там, где порядок всё-таки важен, и получить ответ в k! раз меньше. Проверяй себя вопросом: «Если я поменяю выбранные элементы местами, получится новый результат или тот же самый?» Тот же — значит сочетание.

Слова-подсказки: «выбрать», «составить команду», «сколько наборов», «в каком порядке — не важно». Отдельный случай: C(n, n) = 1, ведь выбрать все элементы можно единственным способом.

Как отличить перестановку от сочетания

Задай себе два вопроса по порядку. Первый: участвуют все элементы или только часть? Второй: важен ли порядок? Ответы на них однозначно указывают на формулу. Держи таблицу-шпаргалку рядом, пока решаешь первые задачи.

Заметь: в примерах ответ совпал, но модели разные. Совпадение чисел не значит, что формулы взаимозаменяемы. Порядок действий всегда один: сначала определяем модель, потом подставляем числа. Если база по дробям и преобразованиям подзабылась, поможет разбор заданий 7–8 из ОГЭ — комбинаторика часто идёт в паре с вероятностью.

Один разобранный пример целиком

Условие: в группе 15 человек. Сколькими способами можно выбрать 3 из них для дежурства? Сколькими способами можно расставить всех 15 в очередь?

Часть 1. Дежурные — порядок не важен, берём часть → сочетания.
C(15, 3) = 15! ÷ (3! · 12!)
= (13 · 14 · 15) ÷ (1 · 2 · 3)
= 2730 ÷ 6
= 455

Часть 2. Очередь — участвуют все, порядок важен → перестановки.
P(15) = 15! = 1 · 2 · 3 · … · 15
15! ≈ 1,3 · 10¹² — в ответе оставляем запись 15!

Проверка смысла: 455 — обозримое число,
а 15! огромно, и это нормально для перестановок.

Схема решения любой такой задачи: определить модель → записать формулу → сократить факториалы → проверить, похож ли ответ на правду. Хочешь пройти эту схему на своих числах? В бесплатной практике собраны задачи с разными условиями и подсказками.

Типичные ошибки девятиклассников

Первая и самая частая — перепутать модели. Лечится вопросом про порядок: если перестановка выбранных элементов даёт новый результат, это не сочетание.

Вторая — не заметить слово «разные». Если предметы одинаковые, обычные формулы дают завышенный ответ, и задачу нужно разбирать отдельно.

Третья — арифметика с факториалами. Многие честно считают 10! целиком вместо сокращения дроби, теряют время и путаются в нулях.

Четвёртая — забыть, что в сочетаниях делить нужно именно на k!, а не на (n − k)!: эти два числа не всегда совпадают.

Пятая — не дочитать условие: «хотя бы один», «не менее двух» требуют разбора случаев, а не одной формулы. Если перебор случаев даётся тяжело, посмотри материал о задачах с параметром — там тренируется тот же навык аккуратного разбора ситуаций.

Что запомнить

Перестановки — про все элементы и порядок: P(n) = n! Сочетания — про выбор части без учёта порядка: C(n, k) = n! ÷ (k! · (n − k)!). Факториал сокращай, не считай целиком. Перед подстановкой чисел всегда определяй модель по двум вопросам: сколько элементов участвует и важен ли порядок.

Дальше — только практика. Разбери 5–7 задач каждого типа, потом перемешай их и реши подряд, не подглядывая в таблицу. Ошибки разбирай сразу, пока решение свежее в памяти.

Следующий шаг: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно — система покажет, где именно ты путаешь модели, и подберёт похожие задачи на отработку.