Геометрическая прогрессия: формула n-го члена

Что такое геометрическая прогрессия

Если в задачах теряются баллы из-за степеней и непонятного индекса n, геометрическая прогрессия поможет навести порядок. Здесь ты научишься быстро находить любой член последовательности, понимать роль знаменателя и проверять ответ без догадок.

Геометрической называют последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число. Это число называют знаменателем прогрессии и обозначают буквой q. Например, 3, 6, 12, 24 — прогрессия со знаменателем 2.

b₁ = 3
b₂ = 3 · 2 = 6
b₃ = 6 · 2 = 12
q = 2

Если q = 1, все члены одинаковы. При q = −1 знаки чередуются, а при q = 0 после первого члена идут нули. Важно отличать умножение от прибавления: последовательность 2, 5, 8 не является геометрической, потому что здесь каждый раз прибавляют 3.

Формула n-го члена

Чтобы не выписывать всю последовательность до нужного номера, используют формулу n-го члена: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. Она связывает первый член, знаменатель и номер искомого члена. Индекс n показывает, какой именно элемент нужно найти.

Почему появляется степень n − 1? От первого члена до второго выполняется одно умножение на q, до третьего — два, до четвёртого — три. Значит, до члена с номером n нужно выполнить n − 1 умножений.

bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹
b₁ — первый член
q — знаменатель
n — номер члена

Пример: пусть b₁ = 5, q = 3, n = 4. Тогда b₄ = 5 · 3³ = 5 · 27 = 135. Типичная ошибка — поставить в степень не n − 1, а n. Из-за этого вместо 135 получится 405, то есть результат будет увеличен ещё в три раза.

Для самопроверки можно выписать первые четыре члена: 5, 15, 45, 135. Ответ совпал, значит формула применена правильно. В личном кабинете можно открыть бесплатную практику и закрепить такой алгоритм на похожих заданиях.

Как находить знаменатель и составлять формулу

Иногда в условии дана последовательность, но знаменатель не указан. Тогда раздели любой член, начиная со второго, на предыдущий: q = bₙ₊₁ ÷ bₙ. Лучше проверить отношение ещё на одной паре, чтобы не пропустить ошибку в переписывании.

12, 4, 4⁄3, 4⁄9
q = 4 ÷ 12 = ⅓
q = (4⁄3) ÷ 4 = ⅓
bₙ = 12 · (⅓)ⁿ⁻¹

Здесь каждый новый член в три раза меньше предыдущего. Дробный знаменатель не означает, что формула стала другой: меняется только значение q. Если первый член отрицательный или q отрицателен, правило остаётся тем же, но внимательно следи за знаками.

Типичная ошибка — вычислять разность соседних членов и называть её знаменателем. Разность подходит для арифметической прогрессии, а в геометрической нужен именно частный. Ещё одна ловушка — записать bₙ = b₁ · qⁿ без уменьшения показателя на единицу.

Если хочется потренироваться без поиска дополнительных материалов, зарегистрируйся для бесплатных заданий: после каждого ответа удобно возвращаться к формуле и проверять ход решения.

Разобранный пример по шагам

Решим задачу полностью: в геометрической прогрессии первый член равен 2, знаменатель равен −3. Найди пятый член. Здесь важно не испугаться отрицательного q: знак будет меняться после каждого умножения.

Дано: b₁ = 2, q = −3, n = 5
b₅ = b₁ · q⁵⁻¹
b₅ = 2 · (−3)⁴
(−3)⁴ = 81
b₅ = 2 · 81 = 162
Ответ: b₅ = 162

Проверим другим способом: 2, −6, 18, −54, 162. Получился тот же результат. Чётная степень делает степень отрицательного числа положительной, поэтому пятый член оказался положительным.

Самая частая ошибка — забыть скобки и мысленно считать −3⁴ как отрицательное число. В записи с отрицательным знаменателем скобки обязательны: (−3)⁴. Также нельзя заменить степень последовательным сложением: прогрессия строится умножением.

Если в задаче спрашивают не член, а номер, формула потребует обратного рассуждения со степенями. На этом этапе полезно записывать каждый известный элемент отдельно, а не подставлять всё одной строкой.

Типичные ошибки и быстрая проверка

Перед ответом проверь три вещи: правильно ли найден q, тот ли номер n подставлен и уменьшен ли показатель на единицу. Эти действия занимают немного времени, но защищают от большинства механических ошибок.

Например, для 7, 14, 28, 56 знаменатель равен 2, а четвёртый член уже дан: b₄ = 56. По формуле получаем 7 · 2³ = 56. Если вышло 112, значит степень взята неверно.

Для сравнения методов можно разобрать дополнительные задачи в материалах о типичных ошибках на ОГЭ по химии и ошибках на ОГЭ по физике: внимательная запись вычислений полезна в любом предмете.

Что запомнить

Геометрическая прогрессия строится умножением на постоянный знаменатель q. Главная формула: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. Сначала определи первый член, затем найди q, внимательно подставь номер и отдельно проверь знак результата.

q = bₙ₊₁ ÷ bₙ
bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹
проверка: соседние члены делятся с одинаковым результатом

Разберём короткий пример: b₁ = 4, q = ½, n = 3. Тогда b₃ = 4 · (½)² = 4 · ¼ = 1. Последовательность 4, 2, 1 подтверждает ответ.

Типичная ошибка — механически подставить числа, не понять их роль. Если сомневаешься, выпиши первые несколько членов или проверь отношение соседей. Такой контроль особенно полезен в заданиях с дробями и отрицательными числами.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно. После этого отметь, где именно появилась ошибка: в q, степени, знаке или вычислении. Так тема закрепится надёжнее, чем после одного прочтения.