Неравенства с двумя переменными: задачи с решениями и ответами

Что такое неравенство с двумя переменными

Знакомая фраза «реши неравенство» в девятом классе внезапно становится сложнее: стоит добавить вторую переменную, и ответом оказывается не отрезок на прямой, а целая область на координатной плоскости. Именно на таких заданиях теряются баллы: граница найдена, а штриховка не та или линия не той «жирности». Ниже — пошаговый алгоритм, разобранный пример, таблица задач с ответами и разбор ловушек. А если тема кажется скучной, загляни в материал про мотивацию подростка к математике.

Неравенство с двумя переменными — это запись вида f(x; y) > g(x; y), где вместо > могут стоять ≥, < или ≤. Его решение — пара чисел (x; y), при подстановке которой получается верное числовое неравенство. Таких пар обычно бесконечно много, поэтому ответ изображают множеством точек: например, y > x — это все точки выше прямой y = x.

Держи в голове три вопроса: где граница, сплошная она или пунктирная, какую сторону закрашивать. Границу даёт замена знака на равенство, вид линии — строгость знака, сторону — пробная точка. При > и < линия пунктирная и в ответ не входит, при ≥ и ≤ — сплошная и входит.

Как решать: графический метод по шагам

Шаг 1: замени знак неравенства на равенство и построй линию — прямую, параболу, окружность или гиперболу. Шаг 2: определи, сплошной будет линия или пунктирной. Шаг 3: возьми удобную точку, которую не жалко подставить, чаще всего (0; 0). Шаг 4: подставь её координаты в исходное неравенство и проверь, верно ли оно. Шаг 5: закрась ту часть плоскости, где лежит подходящая точка.

Разберём пример полностью: y ≥ 2x − 3. Граница — прямая y = 2x − 3, знак нестрогий, значит линия сплошная. Пробная точка (0; 0): 0 ≥ 2·0 − 3, то есть 0 ≥ −3 — верно, поэтому закрашиваем полуплоскость, содержащую начало координат.

y ≥ 2x − 3
Граница: y = 2x − 3 — прямая, сплошная
Проверка точки (0; 0): 0 ≥ 2·0 − 3 → 0 ≥ −3 — верно
Ответ: полуплоскость выше прямой, включая саму прямую
Для сравнения: y < 2x − 3 → пунктир и область ниже прямой

Если неравенство задано как x² + y² ≤ 25, границей будет окружность радиуса 5 с центром в начале координат, а решением — весь круг вместе с границей. Для y > x² − 4 граница — парабола, нарисованная пунктиром, а область — над ней, потому что при x = 0, y = 0 получаем 0 > −4.

Системы неравенств и пересечение областей

Когда в задании несколько неравенств, решением системы становится пересечение областей — то есть часть плоскости, где выполняются все условия сразу. Сначала рисуешь каждую границу своим цветом, потом закрашиваешь каждую область, а в ответ берёшь участок, закрашенный всеми цветами одновременно.

Например, система из y ≥ 0 и x ≤ 3 даёт область правее вертикальной прямой x = 3? Нет — левее, ведь x ≤ 3. Добавим y ≤ x + 1: получится треугольник с вершинами в точках пересечения трёх границ. Вершины удобно находить, решая пары уравнений как систему.

Типичная ошибка здесь — закрасить объединение вместо пересечения. Проверяй себя так: возьми точку из ответа и подставь во все неравенства системы. Если хотя бы одно нарушилось, точка не подходит. Ответ можно записывать словами: «область, ограниченная прямыми y = 0, x = 3 и y = x + 1, включая границы».

Типичные ошибки и как их избежать

Первая ошибка — пунктир вместо сплошной линии при нестрогом знаке. Вторая — закрашивание стороны «на глаз», без пробной точки. Третья — забытая проверка: школьник уверен, что y > 2x − 3 — это «всегда выше», и не замечает, что подставил точку не туда.

Отдельно стоит смена знака. Если ты делишь обе части на отрицательное число, знак неравенства переворачивается: −y > 2 превращается в y < −2. Об этом легко забыть, когда работаешь с буквой y, а не с привычным x.

Задачи с решениями и ответами

Ниже — подборка заданий для отработки. Сначала реши сам, потом сверься с таблицей. Полезно проговаривать алгоритм вслух: граница → вид линии → пробная точка → область. Если готовишься к экзамену, дополнительный план даст статья про подготовку к ОГЭ за месяц.

Разбор одного задания из таблицы: y < −x + 1. Граница — прямая, знак строгий, значит пунктир. Проверяем (0; 0): 0 < 1 — верно, поэтому закрашиваем полуплоскость ниже прямой, саму прямую не включаем. Ответ: множество точек под прямой y = −x + 1.

Ещё пример: система y ≥ 0 и y ≤ x² − 4 не имеет решений, потому что парабола при всех x лежит выше нуля, а область между нулём и параболой пуста. Такой ответ тоже нужно уметь записывать — «решений нет». Больше задач с автопроверкой ждёт тебя в личном кабинете школы.

Что запомнить

Главное: неравенство с двумя переменными решается графически, а ответом служит область. Замени знак на равенство — получишь границу. Строгий знак даёт пунктир, нестрогий — сплошную линию.

Пробная точка решает вопрос со стороной: подставь (0; 0), если она не лежит на границе. Для системы ищи пересечение областей, а не объединение. Всегда отдельно проговаривай, входит ли граница в ответ.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно — так алгоритм закрепится за один вечер. Начни с прямых, затем перейди к параболам и окружностям, и тема перестанет пугать.