ОГЭ задание 14: прогрессии

Что такое прогрессии в задании 14 ОГЭ

Задание 14 ОГЭ часто кажется длинным из-за букв, индексов и нескольких шагов подряд. На деле здесь проверяют понятные действия с арифметической и геометрической прогрессиями. Если научиться узнавать вид последовательности и подставлять данные в нужную формулу, решение становится спокойнее и быстрее.

Последовательность — это числа, записанные по порядку: a₁, a₂, a₃ и так далее. Арифметическая прогрессия получается, когда каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число d. Геометрическая — когда каждый следующий член получается умножением на один и тот же коэффициент q.

Арифметическая: 3, 7, 11, 15, …
d = 7 − 3 = 4
Геометрическая: 2, 6, 18, 54, …
q = 6 ÷ 2 = 3

Например, в последовательности 12, 9, 6, 3 разность равна −3, поэтому это арифметическая прогрессия. Частая ошибка — считать её геометрической, потому что числа тоже уменьшаются. Сначала всегда проверь разность, затем отношение.

Если отрицательные числа пока вызывают сомнения, полезно повторить правила в материале о сложении и вычитании отрицательных чисел.

Арифметическая прогрессия: формулы и алгоритм

Главная формула арифметической прогрессии помогает найти любой член: aₙ = a₁ + (n − 1)·d. Здесь a₁ — первый член, n — его номер, d — постоянная разность. Если нужно найти сумму первых n членов, используй Sₙ = (a₁ + aₙ)·n ÷ 2.

Алгоритм простой: выпиши известные величины, определи номер нужного члена, найди d и только потом подставляй значения. Если разность отрицательная, скобки обязательны: aₙ = a₁ + (n − 1)·(−d).

Пример: a₁ = 5, d = 3. Найдём a₇.
a₇ = 5 + (7 − 1)·3
a₇ = 5 + 18 = 23

Типичная ошибка — умножить d на n, а не на n − 1. От первого члена до седьмого только шесть переходов, поэтому появляется именно 7 − 1.

Сумма членов арифметической прогрессии

В задачах ОГЭ могут попросить найти сумму нескольких последовательных чисел, количество членов или неизвестный первый член. Для суммы удобно использовать формулу Sₙ = (a₁ + aₙ)·n ÷ 2. Она означает: сложи первый и последний члены, умножь на количество и раздели на 2.

Пример: 4, 7, 10, 13, 16
S₅ = (4 + 16)·5 ÷ 2
S₅ = 20·5 ÷ 2 = 50

Сначала проверь, действительно ли крайние числа относятся к нужному отрезку последовательности. Ошибка возникает, когда ученик видит пять записанных чисел, но в условии требуется сумма от третьего до восьмого члена.

Если в задаче встречаются проценты или доли, освежи тему в разборе задач на концентрацию растворов: там также важно внимательно переводить условие в математическую модель.

Геометрическая прогрессия и её свойства

В геометрической прогрессии каждый член получают умножением на одно и то же число q. Формула n-го члена: bₙ = b₁·qⁿ⁻¹. Для суммы первых n членов при q ≠ 1 используют Sₙ = b₁·(qⁿ − 1) ÷ (q − 1). При небольшом количестве членов иногда быстрее сложить их напрямую.

Пример: b₁ = 3, q = 2. Найдём b₅.
b₅ = 3·2⁵⁻¹
b₅ = 3·2⁴ = 3·16 = 48

Коэффициент может быть дробным или отрицательным. Например, 16, 8, 4, 2 — геометрическая прогрессия с q = ½. Если числа меняют знак, отношение всё равно проверяется обычным делением.

Типичная ошибка — искать постоянную разность вместо постоянного отношения. Для 5, 10, 20 разности разные, а отношение каждого соседнего члена равно 2.

Как решать задание 14 без лишних ошибок

Начни с чтения вопроса: требуется член последовательности, сумма или параметр? Затем выпиши условие кратко. Обозначь первый член и разность либо коэффициент. После подстановки вычисляй по действиям, особенно если есть отрицательные числа, дроби и степени.

Мини-пример: 81, 27, 9, … Найти шестой член.
q = 27 ÷ 81 = ⅓
b₆ = 81·(⅓)⁵
b₆ = 81 ÷ 243 = ⅓

Проверь результат здравым смыслом: при умножении на ⅓ числа должны уменьшаться, значит шестой член не может быть больше 81. Если ответ не подходит по размеру, ищи ошибку в степени или делении.

Полезно отделять вычисления от черновых рассуждений: одна строка — формула, следующая — подстановка, затем ответ. Не округляй дроби без необходимости. В ОГЭ точное значение часто получается проще десятичного.

Типичная ошибка — переписать формулу без скобок: 5 + 6·(−2) нельзя заменять на 5 + 6·2. Для регулярной тренировки можно открыть бесплатную практику в личном кабинете и решать задания по шагам.

Что запомнить перед ОГЭ

Арифметическая прогрессия узнаётся по постоянной разности d, геометрическая — по постоянному отношению q. Для арифметической последовательности запомни aₙ = a₁ + (n − 1)·d и Sₙ = (a₁ + aₙ)·n ÷ 2. Для геометрической важна формула bₙ = b₁·qⁿ⁻¹.

Быстрая проверка:
разность одинакова → арифметическая
отношение одинаково → геометрическая
номер члена n → степень или множитель часто содержит n − 1

Перед сдачей проверь три вещи: правильно ли определён вид прогрессии, не потерян ли переход n − 1, совпадает ли знак ответа с поведением чисел. Если последовательность убывает, положительный огромный результат должен насторожить.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. После каждого решения сверяй не только ответ, но и место, где появился первый неверный шаг. Так тренировка действительно укрепляет навык.