ОГЭ задание 15–19: геометрия (базовые задачи)

Что проверяют задания 15–19

Задания 15–19 по геометрии часто пугают не сложностью, а непривычным рисунком и нехваткой времени. На самом деле в базовых задачах ОГЭ обычно нужно узнать знакомую фигуру, выбрать теорему и аккуратно выполнить один-два шага. В этой статье ты разберёшь самые частые сюжеты: углы, треугольники, окружность, площади и координаты. Такой алгоритм помогает не угадывать ответ, а видеть решение даже в новом оформлении.

Сначала прочитай условие без рисунка и выпиши, что дано. Затем отметь на чертеже равные стороны, параллельные прямые, прямые углы и нужный отрезок. Только после этого выбирай формулу. Например, если в прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8, гипотенуза находится так: √(6² + 8²) = √100 = 10.

Типичная ошибка — сразу подставлять числа, не проверив, что именно требуется найти. Иногда спрашивают периметр, а ученик вычисляет площадь; иногда длина дана в сантиметрах, а ответ нужен в метрах. Привыкай подчёркивать искомую величину и записывать единицы измерения.

Если базовая теория подзабылась, полезно освежить и другие разделы математики в материале «Повторение математики перед экзаменом». А начать спокойную тренировку можно в личном кабинете с бесплатной практикой.

Углы и параллельные прямые

В первой группе задач чаще всего встречаются смежные, вертикальные и углы при параллельных прямых. Смежные углы в сумме дают 180°, вертикальные углы равны. Если две параллельные прямые пересечены секущей, соответственные и накрест лежащие углы равны, а односторонние в сумме дают 180°. Эти свойства позволяют быстро найти неизвестное значение без дополнительных построений.

Например, один из односторонних углов равен 68°. Второй равен 180° − 68° = 112°. Если же угол напротив данного на пересечении равен 68°, это вертикальные углы, поэтому неизвестный угол также равен 68°.

Дано: a ∥ b, ∠1 = 68°
Односторонние углы: ∠1 + ∠2 = 180°
∠2 = 180° − 68° = 112°
Ответ: 112°

Типичная ошибка — считать равными любые углы, расположенные «похожим образом». Сначала назови свойство: вертикальные, соответственные или односторонние. Это короткое пояснение защищает от случайной подстановки.

Треугольники: стороны, углы и высота

В задачах 15–19 полезно уверенно различать прямоугольный, равнобедренный и равносторонний треугольники. Сумма углов любого треугольника равна 180°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а в прямоугольном работает теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Для площади используй половину произведения основания на высоту.

Разберём задачу полностью. В прямоугольном треугольнике катет равен 5 см, гипотенуза — 13 см. Найдём второй катет и площадь, если он является высотой к первому катету.

b² = c² − a²
b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
b = √144 = 12 см
S = ½ · 5 · 12 = 30 см²
Ответ: второй катет 12 см, площадь 30 см²

Обрати внимание: сначала из теоремы Пифагора найден отрезок, а уже потом применена формула площади. Типичная ошибка — складывать квадраты, когда ищется катет. Если неизвестна часть треугольника, квадрат катета получают вычитанием из квадрата гипотенузы.

Ещё одна ловушка — использовать сторону вместо высоты. Основание и высота должны быть перпендикулярны. Если высота проведена за пределами треугольника, внимательно посмотри на обозначения и не выбирай ближайший отрезок автоматически.

Окружность и четырёхугольники

В задачах с окружностью запомни несколько опорных фактов: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной; диаметр равен двум радиусам; центральный угол, опирающийся на дугу, вдвое больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. В четырёхугольнике сумма внутренних углов равна 360°, а в параллелограмме противоположные углы и стороны равны.

Например, радиус окружности равен 7 см. Тогда диаметр равен 2 · 7 = 14 см. Если в параллелограмме один угол равен 65°, противоположный тоже равен 65°, а соседний — 180° − 65° = 115°.

Важно отличать радиус от диаметра на рисунке. Отрезок, проходящий через центр и соединяющий две точки окружности, является диаметром. Отрезок от центра до окружности — радиус. Типичная ошибка — применить формулу диаметра к радиусу и получить ответ в два раза меньше.

При работе с углами не ориентируйся на вид рисунка: он может быть не в масштабе. Например, визуально острый угол способен оказаться прямым или тупым по условию. Доверяй только числам, обозначениям и известным свойствам.

Проверяй разумность результата: радиус не может быть больше диаметра, а сумма углов четырёхугольника обязана равняться 360°. Такая быстрая проверка иногда спасает от арифметической ошибки.

Площади, периметры и координаты

В базовых задачах нужно уверенно находить площадь прямоугольника, треугольника, параллелограмма и круга. Для прямоугольника S = ab, для треугольника S = ½ah, для параллелограмма S = ah. Длину отрезка на координатной прямой находят как разность координат с большим значением минус меньшее. На клетчатом рисунке сначала посчитай клетки, а затем проверь единицы.

Пример: прямоугольник имеет стороны 9 см и 4 см. Его периметр равен 2 · (9 + 4) = 26 см, площадь — 9 · 4 = 36 см². Если точки на координатной прямой имеют координаты −3 и 5, расстояние между ними равно 5 − (−3) = 8.

Типичная ошибка — смешать площадь и периметр. Площадь измеряется в квадратных единицах, а периметр — в обычных. Нельзя складывать длины для площади или умножать стороны, когда спрашивают длину границы фигуры.

Для закрепления полезно решать короткие серии однотипных задач, а не только читать формулы. В бесплатной практике в личном кабинете можно сразу проверить ответ и вернуться к непонятному шагу.

Что запомнить перед экзаменом

Двигайся по одному алгоритму: прочитай условие, найди искомое, отметь свойства фигуры, запиши формулу, подставь числа и проверь единицы. Для углов вспоминай 180° и 360°, для прямоугольного треугольника — теорему Пифагора, для площадей — основание и высоту. Не пытайся решить задачу «на глаз» по красивому рисунку.

Мини-пример: у треугольника основание 10 см и высота 6 см. Площадь равна ½ · 10 · 6 = 30 см². Если в ответе получилось 300 см², проверь множитель ½ и единицы. Такая проверка занимает несколько секунд, но помогает обнаружить ошибку.

Чаще всего теряются баллы из-за спешки, неверного чтения вопроса и путаницы между радиусом, диаметром, высотой и стороной. После решения перечитай условие и сравни ответ с тем, что действительно спрашивали.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете «Просто Урок». Так ты превратишь правила в навык и увидишь, какой тип задач стоит повторить ещё раз.

Пусть каждая задача начинается не с догадки, а с понятного плана: данные → свойство → формула → проверка.