Системы неравенств с двумя переменными: задачи с решениями и ответами

Что такое система неравенств

Если в задаче с двумя переменными теряешься между прямыми, знаками и заштрихованными областями, не спеши угадывать ответ. Здесь важно действовать по алгоритму: разобрать каждое неравенство, построить границу, выбрать подходящую полуплоскость и найти общую часть. После этой статьи ты сможешь уверенно решать такие задания и проверять себя.

Система объединяет несколько неравенств с одними и теми же переменными x и y. Её решением называют все пары чисел, которые одновременно подходят каждому условию. Поэтому на координатной плоскости ответ обычно выглядит как область, а не как отдельная точка.

Пример:
x + y ≥ 3
y < 2x + 1
Решение — общая часть двух полуплоскостей.

Сначала каждое неравенство удобно привести к виду y ≥ или y ≤ выражение с x. Граница y = выражение изображается прямой. Если знак содержит «≥» или «≤», прямая входит в ответ и рисуется сплошной линией. При «>» или «<» граница не входит и рисуется пунктиром.

Типичная ошибка — заштриховать область, подходящую только одному условию. Проверяй любую контрольную точку в обоих неравенствах. Дополнительные задания по чтению графиков можно посмотреть в разборе заданий ВПР по математике.

Графический способ решения

Графический способ особенно удобен, когда в системе две переменные. Для каждой границы найди две точки, проведи прямую и выбери сторону с помощью пробной точки, чаще всего O(0; 0). Если начало координат лежит на границе, возьми другую точку, например (1; 0).

Разберём систему полностью:
y ≥ x − 2
y ≤ −x + 4
1) Границы: y = x − 2 и y = −x + 4.
2) Для первой берём точки (0; −2), (2; 0).
3) Для второй берём точки (0; 4), (4; 0).
4) Обе прямые сплошные.
5) Точка (0; 0): 0 ≥ −2 — верно; 0 ≤ 4 — верно.
Ответ: область между прямыми, включая их границы.

Пересечение границ находится из равенства x − 2 = −x + 4, откуда 2x = 6 и x = 3, затем y = 1. Точка (3; 1) — вершина области решений. Для проверки можно взять (3; 2): оба условия выполняются.

Ошибка в этом способе — перепутать направление штриховки. Если пробная точка не подходит, заштрихуй противоположную сторону, а не меняй знак в исходной записи.

Алгебраические преобразования

Иногда систему можно решить без чертежа или сначала упростить её. Главное правило: при умножении или делении неравенства на отрицательное число знак меняется на противоположный. При переносе слагаемого через знак равенства или неравенства меняется только знак этого слагаемого.

Пример преобразования:
−2x + y > 4
y > 2x + 4
3x − 6y ≤ 12
−6y ≤ 12 − 3x
y ≥ ½x − 2

В последней строке знак изменился, потому что мы разделили обе части на −6. Теперь система имеет вид y > 2x + 4 и y ≥ ½x − 2. На графике первая граница пунктирная, вторая сплошная. Ответом будет область выше обеих прямых.

Если требуется найти конкретные целые решения, перечисляй значения x и вычисляй допустимый промежуток для y. Например, при x = 0 получаем y > 4 и y ≥ −2, значит подходят целые y: 5, 6, 7 и далее.

Типичная ошибка — оставить прежний знак после деления на отрицательное число. Полезно мысленно сказать: «минус переворачивает неравенство». Бесплатно потренироваться на похожих преобразованиях можно в личном кабинете с заданиями.

Как решать текстовые задачи

В текстовой задаче сначала обозначь переменные и подпиши их смысл. Затем переведи каждое ограничение в неравенство: количество не может быть отрицательным, сумма не превышает запас, стоимость не меньше заданной. После этого реши систему графически или перебором.

Пример:
Блокнот стоит x рублей, ручка — y рублей.
2x + 3y ≤ 240
x ≥ 40
y ≥ 20
При x = 60: 120 + 3y ≤ 240 → y ≤ 40.
Подходят, например, пары (60; 20) и (60; 40).

Первая строка задаёт бюджетную область, а два следующих условия отсекают значения ниже 40 и 20. В ответе обязательно укажи, что переменные неотрицательны, если это следует из смысла задачи. Если нужны целые предметы, дробные значения не подходят.

Ошибка — перепутать «не более» и «не менее». Перед решением перескажи каждое неравенство словами и проверь единицы измерения. Для оформления решений полезны рекомендации из статьи как записывать геометрию на ОГЭ.

Тренировка: задачи с ответами

Попробуй решить примеры самостоятельно, а затем сравни результат. Важно не только назвать область, но и понимать, какие границы входят в ответ.

Задача 1:
y ≥ 2x − 1
y ≤ 5
Ответ: область выше прямой y = 2x − 1 и ниже прямой y = 5; обе границы входят.

Задача 2:
x + y < 6
x ≥ 1
Ответ: область левее вертикальной прямой x = 1? Нет: условие x ≥ 1 означает область правее неё, одновременно ниже прямой y = 6 − x.

Задача 3:
y > −x
y ≤ x + 2
Ответ: область выше пунктирной y = −x и ниже сплошной y = x + 2.

В третьей задаче границы пересекаются в точке (−1; 1), но сама точка не входит полностью в решение: первая граница пунктирная. Такой нюанс часто проверяют в заданиях.

Ещё одна ошибка — читать рисунок справа налево или сверху вниз без проверки. Подставь выбранную точку в исходную систему, а не только в преобразованную запись.

Что запомнить

Система неравенств с двумя переменными решается через пересечение решений отдельных неравенств. Приведи границы к удобному виду, построй прямые, определи сторону пробной точкой и учти тип линии: сплошная граница входит, пунктирная — нет.

Короткий алгоритм:
1. Перепиши каждое неравенство как y ≥ или y ≤ …
2. Построй границы.
3. Проверь пробную точку.
4. Найди общую область.
5. Проверь ответ подстановкой.

Если в условии есть текст, сначала обозначь величины и их ограничения. Если делишь на отрицательное число, обязательно поменяй знак. Если требуется ответ в целых числах, выпиши только целые пары из найденной области.

Закрепи тему практикой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. После каждого решения объясни себе, почему граница сплошная или пунктирная. Так рисунок перестанет быть случайным набором линий.

Главная типичная ошибка — торопиться с заштриховкой. Один короткий тест точки часто исправляет весь ход решения. Если ответ вызывает сомнения, вернись к исходной системе и проверь пару чисел напрямую.