Статистика: таблицы, диаграммы, характеристики: задачи с решениями и ответами

Зачем девятикласснику статистика

Если в контрольной по алгебре попалась таблица с частотами или круговая диаграмма, а чёткого плана действий нет — легко растеряться и потерять баллы на ровном месте. Статистика в 9 классе почти не требует сложных формул: она требует аккуратности. Собери данные, посчитай, проверь, что именно спрашивают в задаче. Весь материал укладывается в четыре блока: таблицы, диаграммы, характеристики (среднее, медиана, мода, размах) и комбинированные задачи, где нужно применить сразу несколько умений.

Дальше мы разберём каждый блок по шагам, решим одну задачу целиком — от условия до ответа — и отдельно разберём типичные ошибки. Статья устроена как тренажёр: читай разбор, закрывай решение и повторяй сам. Проверить себя на заданиях с автоматической проверкой удобно в личном кабинете, это бесплатно.

Смежные навыки тоже пригодятся: читать графики и таблицы нужно и на физике, например при разборе демоверсии ЕГЭ по физике, и в геометрии, где важна внимательность к чертежу — как в шпаргалке по стереометрии.

Таблицы: частоты и относительные частоты

Таблица — самый надёжный способ записать данные. Слева ставят значение или интервал, справа — частоту (сколько раз значение встретилось) либо относительную частоту (какую долю от общего числа оно составляет). Ключевое соотношение: относительная частота = частота ÷ общее число измерений. Сумма всех относительных частот всегда равна 1, или 100 %, — это удобная проверка.

Пример. Тест писали 20 учеников. Оценку «5» получили 4 человека, «4» — 8, «3» — 6, «2» — 2. Сначала проверяем полноту данных: 4 + 8 + 6 + 2 = 20. Теперь делим каждую частоту на 20: 4 ÷ 20 = 0,2; 8 ÷ 20 = 0,4; 6 ÷ 20 = 0,3; 2 ÷ 20 = 0,1. Сумма 0,2 + 0,4 + 0,3 + 0,1 = 1, значит таблица заполнена верно.

Типичная ошибка — делить на количество строк таблицы, а не на общее число измерений. Второй частый промах: считать интервалы равными, хотя в условии они разной ширины; тогда относительную частоту относят ко всему интервалу целиком.

Диаграммы: столбчатая, круговая, гистограмма

Диаграмма — это та же таблица, только картинкой. Столбчатая показывает частоты: высота столбца пропорциональна числу. Круговая показывает доли: весь круг — 100 %, а угол сектора считают так: 360° × (частота ÷ общее число). Гистограмма похожа на столбчатую, но строится для интервалов, и столбцы в ней стоят вплотную, без промежутков.

Вернёмся к нашим 20 ученикам. Для оценки «5» угол сектора: 4 ÷ 20 = 0,2, затем 0,2 · 360° = 72°. Для «4»: 8 ÷ 20 = 0,4, то есть 144°. Для «3»: 6 ÷ 20 = 0,3 → 108°. Для «2»: 2 ÷ 20 = 0,1 → 36°. Проверка: 72° + 144° + 108° + 36° = 360° — секторы построены правильно.

Частая ошибка — путать высоту столбца с самой долей: высота может быть подписана в процентах или в абсолютных числах, и от этого зависит ответ. Внимательно читай подпись оси.

Характеристики: среднее, медиана, мода, размах

Среднее арифметическое — сумма всех чисел, делённая на их количество. Медиана — число посередине упорядоченного ряда; если чисел чётное количество, берут среднее двух центральных. Мода — значение, которое встречается чаще других. Размах — разность между наибольшим и наименьшим значением.

Разберём ряд 3, 5, 5, 7, 10. Сумма равна 30, количество чисел 5, значит среднее: 30 ÷ 5 = 6. Упорядоченный ряд тот же, посередине стоит 5 — это медиана. Чаще всего встречается 5 — это мода. Размах: 10 − 3 = 7. Обрати внимание: три характеристики из четырёх здесь совпали, но так бывает далеко не всегда.

Ошибки, которые встречаются чаще всего: искать медиану в неупорядоченном ряду; забывать про среднее двух центральных чисел при чётном количестве; считать, что среднее «обязано» совпадать с одним из чисел. Ещё один нюанс: среднее сильно реагирует на выбросы, а медиана — почти нет.

Разобранная задача целиком

Условие. В течение 10 дней измеряли температуру воздуха и получили ряд: 18, 20, 21, 19, 20, 22, 20, 17, 19, 24. Найдите среднее значение, медиану, моду и размах. Сделайте вывод о погоде.

Шаг 1: упорядочим ряд по возрастанию: 17, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 21, 22, 24. Шаг 2: считаем характеристики по порядку, записывая каждое действие.

Сумма: 17 + 18 + 19 + 19 + 20 + 20 + 20 + 21 + 22 + 24 = 200
Среднее: 200 ÷ 10 = 20
Медиана: (20 + 20) ÷ 2 = 20
Мода: 20 (встречается три раза)
Размах: 24 − 17 = 7
Ответ: среднее 20, медиана 20, мода 20, размах 7

Вывод: типичная температура — около 20 градусов, самый частый показатель тоже 20, а колебания за десять дней составили 7 градусов. Медиана и среднее совпали, значит выбросов в данных нет.

Если хочешь закрепить алгоритм на похожих заданиях разной сложности, открой бесплатную практику и реши несколько задач подряд — с проверкой сразу после ввода ответа.

Что запомнить

Первое: относительная частота — это частота, делённая на общее число измерений, и сумма таких долей равна 1. Второе: угол сектора в круговой диаграмме — это доля, умноженная на 360°. Третье: медиана живёт только в упорядоченном ряду, а при чётном количестве чисел берётся среднее двух центральных. Четвёртое: размах — это разность максимума и минимума, а не количество чисел.

Пятое, самое практичное: почти в любой задаче сначала упорядочивай ряд и считай сумму, а уже потом переходи к среднему, медиане и моде. Такой порядок действий убирает больше половины ошибок по невнимательности.

Следующий шаг: зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий по статистике бесплатно — таблица, диаграмма, характеристики и комбинированная задача. После проверки ты сразу увидишь, какой шаг пока хромает.