Сумма первых n членов арифметической прогрессии: задачи с решениями и ответами

1. Что такое сумма арифметической прогрессии

Если в задаче нужно сложить много членов прогрессии, последовательное сложение быстро приводит к ошибкам. На экзамене важнее увидеть закономерность и применить короткую формулу. Здесь ты разберёшь, как находить сумму первых n членов, проверять результат и не путать нужные величины.

Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число d. Первый член обозначают a₁, последний из рассматриваемых — aₙ.

Sₙ = (a₁ + aₙ) · n ÷ 2
Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d) · n ÷ 2

Первая формула удобна, если известны первый и последний члены. Вторая подходит, когда даны первый член, разность и количество членов. Например, для 3, 7, 11 сумма первых трёх членов равна (3 + 11) · 3 ÷ 2 = 21.

Типичная ошибка — принять d за последний член или забыть умножить среднее арифметическое крайних членов на n.

2. Как найти последний член

Перед вычислением суммы иногда нужно определить aₙ. Формула последнего члена показывает, как меняется последовательность от первого элемента к n-му:

aₙ = a₁ + (n − 1)d

Почему появляется n − 1? От первого члена до второго один шаг, до третьего два шага, а до n-го — ровно n − 1 шагов. Например, пусть a₁ = 5, d = 4, n = 6. Тогда a₆ = 5 + 5 · 4 = 25.

Теперь сумму можно найти двумя способами: сначала вычислить a₆ и подставить его в первую формулу либо сразу использовать вторую. В обоих случаях получится (5 + 25) · 6 ÷ 2 = 90.

Проверь себя прямым сложением: 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 = 90. Совпадение подтверждает вычисление.

Ещё одна ошибка — потерять знак d. Если прогрессия убывает, разность отрицательна, и последний член действительно становится меньше.

3. Алгоритм решения задач

Решай задачи по устойчивому плану. Сначала определи первый член и разность, затем выясни, сколько членов требуется сложить. Если последнего члена нет, найди его отдельным действием. После этого выбери подходящую формулу и оцени, реалистичен ли ответ.

Пример: найти сумму первых восьми членов прогрессии 12, 10, 8, … Здесь a₁ = 12, d = −2, n = 8. Сначала a₈ = 12 + 7 · (−2) = −2. Затем S₈ = (12 − 2) · 8 ÷ 2 = 40.

Ответ разумен: положительные и отрицательные члены частично компенсируют друг друга. Если сложить их вручную, получится тот же результат.

Типичная ошибка — взять количество переходов, семь, вместо количества членов, восьми. В формуле суммы n означает именно число слагаемых.

Для дополнительной тренировки можно посмотреть материал о подготовке к ЕГЭ по математике с нуля и затем решить похожий пример самостоятельно.

4. Разобранная задача

Разберём задачу полностью: найдите сумму первых 15 членов арифметической прогрессии, если a₁ = 7, d = 3.

Сначала фиксируем данные: количество членов n = 15, первый член равен 7, разность равна 3. Последний член неизвестен, поэтому найдём его по формуле.

a₁₅ = 7 + (15 − 1) · 3
a₁₅ = 7 + 14 · 3 = 49
S₁₅ = (7 + 49) · 15 ÷ 2
S₁₅ = 56 · 15 ÷ 2 = 420

Ответ: 420. Проверка через вторую формулу даёт тот же результат: (2 · 7 + 14 · 3) · 15 ÷ 2 = 420. Значит, оба способа согласованы.

Обрати внимание: число 15 использовано и при поиске последнего члена, и при вычислении суммы. Это не случайность, а число всех слагаемых.

Если в ответе получилось 392, скорее всего, было использовано 13 шагов вместо 14. Если получилось 28, найдено среднее арифметическое крайних членов, но забыто умножение на n.

Потренироваться в личном кабинете можно через бесплатную практику с заданиями.

5. Типичные ошибки и самопроверка

Самая частая ошибка — смешать формулы: например, подставить d вместо aₙ в выражение (a₁ + aₙ) · n ÷ 2. Разность показывает шаг, а последний член — конкретное значение на нужной позиции.

Вторая проблема — неправильный знак. В последовательности 20, 17, 14, … разность равна −3, а не 3. Для пяти членов последний член равен 8, сумма — (20 + 8) · 5 ÷ 2 = 70.

Третья ошибка появляется в текстовых задачах. Если зарплата или число деталей увеличивается ежемесячно, первый месяц часто является a₁, а количество месяцев — n. Полезно выписать первые два значения и найти d.

Самопроверка проста: сравни сумму со средним членом. В арифметической прогрессии среднее арифметическое крайних членов равно среднему значению всех членов, поэтому Sₙ ÷ n должно совпадать с (a₁ + aₙ) ÷ 2.

Для пятичленной последовательности 2, 5, 8, 11, 14 сумма равна 40, а среднее 8. Ответ верен.

После теории полезно повторить вычисления в материале про объём куба и параллелепипеда: там тоже важно внимательно читать данные и единицы.

6. Что запомнить

Главная идея такова: сумма первых n членов равна среднему арифметическому первого и последнего членов, умноженному на количество членов.

Sₙ = (a₁ + aₙ) · n ÷ 2
aₙ = a₁ + (n − 1)d

Если последний член неизвестен, сначала найди его. Если известны только a₁, d и n, используй формулу Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d) · n ÷ 2. Всегда следи за знаком разности и не путай число шагов с числом членов.

Мини-пример: a₁ = 4, d = 2, n = 4. Последний член 10, сумма (4 + 10) · 4 ÷ 2 = 28.

Твоя следующая цель — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. После каждого ответа сверяй не только результат, но и ход рассуждений.

Так формула перестанет быть заученным правилом и станет удобным инструментом для задач.