ОГЭ задание 17: окружность и её элементы

Задание 17 ОГЭ: почему окружность пугает и как перестать её бояться

У задания 17 в ОГЭ по математике дурная слава: вроде бы простая геометрия, но чертёж с окружностью и несколькими углами легко ставит в тупик. Знакомая картина: дома всё понятно, а на экзамене нужный факт не вспоминается, и балл уплывает.

Хорошая новость: набор теорем здесь короткий и повторяется из года в год. Достаточно разложить его по полочкам и разобрать десяток чертежей — и задание 17 становится одним из самых предсказуемых. В статье разберём элементы окружности, ключевые теоремы, полностью решим типичную задачу, отметим ловушки и соберём шпаргалку в голове. А если захочешь сразу проверить себя на практике, тебе поможет личный кабинет с бесплатными заданиями.

Родителям такой разбор тоже полезен: видно, что именно проверяют и на что смотреть в домашних работах.

Элементы окружности: что нужно уверенно называть

Окружность — множество точек плоскости, равноудалённых от центра O. Радиус — отрезок от центра до точки окружности, все радиусы равны. Диаметр d = 2R, он же самая длинная хорда. Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности; если диаметр перпендикулярен хорде, он делит её пополам, и наоборот. Дуга — часть окружности между двумя точками, её мера измеряется в градусах. Касательная имеет с окружностью ровно одну общую точку, секущая — две.

Основные формулы: длина окружности C = 2πR, площадь круга S = πR², диаметр d = 2R.

Пример: R = 6
d = 2 · 6 = 12
C = 2π · 6 = 12π ≈ 37,7
S = π · 6² = 36π ≈ 113,1

Заметь: в ответе удобно оставлять π — это точнее и быстрее. Типичная ошибка здесь одна, но частая: путают круг и окружность. Круг — часть плоскости внутри, окружность — только граница. Длина относится к окружности, площадь — к кругу.

Теоремы об углах: главный инструмент задания 17

Всё задание держится на нескольких фактах. Первый: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается. Второй: вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.

Отсюда следствия: вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны; вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, то есть 90°. Ещё две рабочие теоремы: угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, равен половине дуги между ними; сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°. Плюс свойство хорд: если две хорды пересекаются, произведения их отрезков равны.

∠AOB = 96° → дуга AB = 96°
вписанный ∠ACB = 96° ÷ 2 = 48°
если C на другой дуге: 180° − 48° = 132°

Разбор типичной задачи: от условия до ответа

Разберём задачу, похожую на реальные прототипы ОГЭ. Точки A, B и C лежат на окружности с центром O, радиус равен 10, ∠ABC = 42°. Найди ∠AOC и угол OAC.

Дано: окружность (O; R = 10), ∠ABC = 42°
Шаг 1. ∠ABC вписанный, опирается на дугу AC, не содержащую B
дуга AC = 2 · 42° = 84°
Шаг 2. ∠AOC центральный, опирается на ту же дугу
∠AOC = 84°
Шаг 3. OA = OC = 10 — радиусы, треугольник AOC равнобедренный
Шаг 4. ∠OAC = (180° − 84°) ÷ 2 = 96° ÷ 2 = 48°
Ответ: ∠AOC = 84°, ∠OAC = 48°

Проверка: 84° + 48° + 48° = 180° — сходится. В оформлении обязательно указывай, какой угол вписанный, а какой центральный: за обоснование дают баллы, за голый ответ — нет. Хочешь потренироваться на похожих чертежах с моментальной проверкой — загляни в бесплатный тренажёр в личном кабинете.

Типичные ошибки и таблица-шпаргалка

Первая ошибка — перепутать центральный и вписанный угол и разделить на 2 то, что делить не нужно. Вторая — взять не ту дугу. Третья — забыть, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: отсюда прямоугольный треугольник и теорема Пифагора.

И не забывай про арифметику: доли, проценты, перевод единиц. Если здесь бывают сбои, поможет разбор задач на проценты.

Что запомнить и что делать дальше

Коротко о главном: центральный угол равен дуге, вписанный — её половине; угол, опирающийся на диаметр, равен 90°; касательная перпендикулярна радиусу; у вписанного четырёхугольника противоположные углы в сумме дают 180°. Этого набора хватает почти для всех прототипов задания 17.

Следующий шаг — не читать, а решать. Зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете «Просто Урок»: тренажёр покажет, где именно ты ошибаешься, и подскажет, какую теорему подтянуть. Чтобы не терять баллы на вычислениях, пригодится повторение задания 14.