Просто УрокШпаргалка: формулы алгебры 7–9 класса
Открываешь тетрадь — и кажется, что формул сотни, а выглядят они все одинаково. На деле в 7–9 классе работает несколько десятков опорных конструкций, и почти любое задание ОГЭ сводится именно к ним. Эта шпаргалка поможет освежить тему за…
Формулы сокращённого умножения
Открываешь тетрадь — и кажется, что формул сотни, а выглядят они все одинаково. На деле в 7–9 классе работает несколько десятков опорных конструкций, и почти любое задание ОГЭ сводится именно к ним. Эта шпаргалка поможет освежить тему за десять минут: короткая теория, разобранные примеры и типичные ошибки.
Первый блок — формулы сокращённого умножения. Они работают в обе стороны: и для быстрого счёта, и для разложения на множители.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
a² − b² = (a − b)(a + b)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Разберём: 49x² − 16y² → (7x − 4y)(7x + 4y). Здесь a = 7x, b = 4y. Ответ уже разложен на множители — именно этого ждут в заданиях на сокращение дробей.
Типичная ошибка — писать (a + b)² = a² + b², теряя двойное произведение. Второй частый промах — знак в (a − b)²: среднее слагаемое там отрицательное.
Проверяй формулу на числах: подставь a = 2, b = 1 и посчитай обе стороны. Сходится — значит, помнишь верно и в контрольной не будешь сомневаться.
Степени и корни
Степени и корни — вторая опора алгебры: без них не упростить дробь и не решить уравнение в старших классах.
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ
a⁰ = 1, a ≠ 0
a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ
√(ab) = √a · √b, a ≥ 0, b ≥ 0
√(a²) = |a|
| Выражение | Равно | Условие |
|---|---|---|
| √a · √b | √(ab) | a ≥ 0, b ≥ 0 |
| (√a)² | a | a ≥ 0 |
| √(a²) | |a| | любое a |
| a⁻ⁿ | 1 ÷ aⁿ | a ≠ 0 |
Пример: √50 · √2 = √100 = 10 — перемножить подкоренные выражения быстрее, чем считать корни по отдельности. Но √(a + b) ≠ √a + √b: корень не «расходится» по сумме.
Частая ошибка — заменять √(a²) на a и забывать модуль: при a = −4 верный ответ 4, а не −4. Ещё путают (aᵐ)ⁿ с aᵐ · aⁿ — в первом случае показатели перемножаются, во втором складываются. Хочешь автоматизма? В личном кабинете есть короткие тренировки по степеням.
Уравнения и системы
Уравнения — сердце курса 7–9 классов. Линейное ax + b = 0 даёт x = −b ÷ a при a ≠ 0. Дальше начинается квадратное, и здесь важны четыре строки.
D = b² − 4ac
x₁,₂ = (−b ± √D) ÷ (2a), D ≥ 0
x₁ + x₂ = −b ÷ a
x₁ · x₂ = c ÷ a
ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)
Решим x² − 5x + 6 = 0. D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. Тогда x = (5 ± √1) ÷ 2, то есть x₁ = 2, x₂ = 3. Проверка по Виету: 2 + 3 = 5, 2 · 3 = 6 — всё сходится.
Ошибки: теряют минус перед b, при D = 0 пишут два разных корня вместо одного, в системах забывают подставить найденное значение во второе уравнение. Если тема «плывёт», начни с бесплатной практики на дискриминант.
Неравенства и метод интервалов
Неравенства решаются почти как уравнения, но с двумя оговорками: знак и границы промежутков.
(x − a)(x − b) > 0 → x < a или x > b
(x − a)(x − b) < 0 → a < x < b
x² ≥ 0 при любом x
|x| < a → −a < x < a, a > 0
Метод интервалов: найди нули, отметь их на прямой, расставь знаки и выбери нужные промежутки. Точки, где знаменатель обращается в ноль, всегда выкалываются.
Решим (x − 1)(x + 3) > 0. Нули: x = 1 и x = −3. Знаки чередуются, берём промежутки со знаком «плюс»: x < −3 или x > 1. В бланке ответ записывают объединением промежутков.
При умножении неравенства на отрицательное число знак переворачивается: −2x > 6 → x < −3. Забыл перевернуть — потерял балл. И не сокращай на выражение с неизвестным: его знак неизвестен.
Функции, графики и прогрессии
Функции в 7–9 классах — это прямые, параболы и гиперболы. Достаточно помнить базовые виды: y = kx + b (прямая), y = ax² + bx + c (парабола), y = k ÷ x (гипербола), y = √x.
aₙ = a₁ + d(n − 1)
Sₙ = (a₁ + aₙ) · n ÷ 2
bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹
Sₙ = b₁(qⁿ − 1) ÷ (q − 1), q ≠ 1
В арифметической прогрессии a₁ = 3, d = 4: a₁₀ = 3 + 4 · 9 = 39, а S₁₀ = (3 + 39) · 10 ÷ 2 = 210. Типичная ошибка — путать n и n − 1: проверь формулу на первом члене, при n = 1 она должна дать a₁.
Как читать графики и производную, подробно разобрано в статье про задание 6 ЕГЭ, а определения синуса, косинуса и тангенса — в материале про тригонометрию.
Что запомнить
Что запомнить: семь формул сокращённого умножения, свойства степеней и корней, дискриминант и теорему Виета, правила метода интервалов, четыре формулы прогрессий. Этого набора хватает, чтобы уверенно решать большинство заданий 7–9 класса и готовиться к ОГЭ.
Удобно переписать формулы на один лист по блокам и возвращаться к нему перед контрольной. Через три-четыре повторения они вспоминаются сами, а не «по листочку». Если какой-то блок проваливается, не перечитывай теорию заново — реши пять задач именно на него.
Формулы бесполезны, пока не отработаны руками. Следующий шаг: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно — личный кабинет подберёт задачи по твоим слабым местам и покажет прогресс.
Как закрепить тему после разбора?
Разбери по одному примеру на каждый блок формул, а затем реши 5–7 задач подряд на ту же тему. Короткие ежедневные тренировки работают лучше, чем один длинный марафон перед контрольной.
Нужно ли учить все формулы наизусть?
Наизусть стоит знать формулы сокращённого умножения, дискриминант и прогрессии. Остальные быстрее восстанавливать на числах или выводить, чем зубрить вслепую и путать знаки.
Почему формулы сокращённого умножения так важны в 9 классе?
На них держатся разложение на множители, сокращение дробей, уравнения и задания ОГЭ. Кто уверенно узнаёт их «в лицо», заметно экономит время на экзамене.
Что делать, если корень не извлекается?
Оставляй ответ с корнем и упрощай, что возможно: √50 = 5√2. Округление в точных заданиях недопустимо, а в практических оно оговаривается отдельно.
Хочешь понимать предмет уверенно?
Репетитор Просто Урок разбирает сложные темы по шагам и даёт целевые тренировки. Регистрация занимает минуту.