Математика 5 класс: десятичные дроби

Пойми, что такое десятичная дробь

Если запятая в числе кажется маленькой, но из-за неё всё решение меняется, пора разобрать десятичные дроби по шагам. Ты научишься читать такие числа, сравнивать их и выполнять действия без путаницы.

Десятичная дробь показывает части целого, разделённого на 10, 100, 1000 и так далее. В записи 4,7 число 4 означает целые единицы, а 7 после запятой — семь десятых. В записи 4,07 после запятой стоят ноль десятых и семь сотых.

Запятая отделяет целую часть от дробной. Справа от неё цифры имеют разный «вес»: первая обозначает десятые, вторая — сотые, третья — тысячные.

0,5 = пять десятых
0,05 = пять сотых
3,214 = три целых 214 тысячных

Нули справа от дробной части число не изменяют: 2,4 = 2,40 = 2,400. А ноль между запятой и значащей цифрой важен: 2,04 не равно 2,4.

Сравнивай дроби уверенно

Чтобы сравнить десятичные дроби, сначала посмотри на целые части. Число с большей целой частью всегда больше. Например, 6,2 > 5,98, хотя вторая дробь содержит больше цифр.

Если целые части равны, сравнивай цифры после запятой слева направо: сначала десятые, затем сотые, потом тысячные. Можно дописать справа нули и сделать одинаковое количество знаков.

2,7 и 2,65
2,70 и 2,65
70 сотых > 65 сотых
2,7 > 2,65

На координатном луче большее число расположено правее. Это полезная проверка: 1,35 должно быть левее 1,4, потому что 1,35 = 1,350, а 1,400 правее.

Ситуация	Что сделать	Пример
Разные целые части	Сравнить целые части	8,1 > 7,99
Одинаковые целые части	Уравнять нули	3,08 < 3,8, потому что 3,08 < 3,80
Одинаковые цифры	Поставить знак равенства	4,50 = 4,5

В магазине такой навык нужен постоянно: 1,5 л сока больше, чем 1,25 л, а цена 249,90 рублей меньше 250 рублей всего на 10 копеек.

Для дополнительной практики можно открыть бесплатный тренажёр в личном кабинете «Просто Урок» и проверить сравнение дробей.

Складывай и вычитай по разрядам

Главное правило сложения и вычитания: запятые должны стоять строго друг под другом. Если знаков после запятой не хватает, допиши нули. Затем выполняй действия как с натуральными числами, сохраняя запятую в том же столбце.

Задача: 12,6 + 3,47
Записываем: 12,60 + 3,47
Складываем сотые: 0 + 7 = 7
Десятые: 6 + 4 = 10 десятых, записываем 0, 1 переносим
Целые: 2 + 3 + 1 = 6
Ответ: 16,07

Проверим смысл ответа: к 12,6 прибавили немного больше трёх, значит результат около 16, а 16,07 подходит. При вычитании действуй так же.

\( 8,00 - 2,36 = 5,64 \)

Если нужно решить задачу про длину, массу или деньги, сначала приведи величины к одной единице. Например, 2 м 35 см можно записать как 2,35 м. После вычисления обязательно подумай, реалистичен ли результат.

После решения полезно выполнить обратное действие: к разности прибавь вычитаемое и проверь, получилось ли уменьшаемое.

Умножай и дели без потери запятой

При умножении десятичных дробей сначала временно убери запятые. Перемножь получившиеся натуральные числа, а затем отсчитай справа столько знаков, сколько их было после запятой в обоих множителях вместе.

1,2 × 0,3
\( 12 \times 3 = 36 \)
После запятой всего 2 знака
Ответ: 0,36

Умножение на 10, 100 и 1000 проще: запятая переносится вправо на 1, 2 или 3 цифры. При умножении на 0,1 или 0,01 она переносится влево на 1 или 2 цифры.

\( 4,08 \times 10 = 40,8 \)
\( 4,08 \times 0,1 = 0,408 \)

Чтобы разделить на 10, 100 или 1000, перенеси запятую влево. Если цифр не хватает, добавь нули перед числом.

\( 7,5 : 100 = 0,075 \)

При делении десятичной дроби на натуральное число дели по обычному алгоритму и поставь запятую в частном, когда дойдёшь до дробной части. Ответ можно проверить умножением.

Вычисления встречаются в рецептах и измерениях: 0,75 кг яблок разделить на 3 — это 0,25 кг в каждой части. Сначала оцени ответ примерно, чтобы заметить ошибку в запятой.

Замечай типичные ошибки

Первая ошибка — сравнивать длину записи. Ученик думает, что 5,123 больше 5,8, потому что после запятой у первой дроби три цифры. На самом деле 5,8 = 5,800, поэтому 5,123 < 5,8.

Вторая ошибка — забывать ноль в записи маленького числа. Число семь сотых записывается как 0,07, а не 0,7. Ноль перед запятой показывает, что целых единиц нет.

Третья ошибка — сдвигать запятую в неправильную сторону. При умножении на 10 число становится в десять раз больше, значит запятая движется вправо. При делении на 10 число уменьшается, значит она движется влево.

Четвёртая ошибка — не выравнивать запятые при сложении. Запиши столбик и проверь разряды: единицы под единицами, десятые под десятыми, сотые под сотыми.

Пятая ошибка — не проверять здравый смысл. Если 2,4 кг разделили на 4, ответ не может быть 9,6 кг. Деление на число больше единицы уменьшает результат.

Попробуй решить три коротких примера, а затем свериться с ответами: 0,6 + 1,25; 3,4 × 0,2; 5,6 : 10.

Ответы: 1,85; 0,68; 0,56

В личном кабинете «Просто Урок» удобно возвращаться к ошибкам и решать похожие задания в своём темпе.

Что запомнить и что сделать дальше

Десятичная дробь состоит из целой и дробной частей. Первая цифра после запятой обозначает десятые, вторая — сотые, третья — тысячные. Нули справа можно дописывать, чтобы уравнять количество знаков.

При сравнении сначала смотри на целые части, затем на разряды после запятой. При сложении и вычитании выравнивай запятые. При умножении считай все дробные знаки в множителях. При делении на 10, 100 и 1000 переноси запятую влево.

Мини-план повторения простой: прочитай правило, реши один пример, объясни его вслух и проверь обратным действием. Если ошибся, найди не только неправильный ответ, но и момент, где появилась ошибка.

Следующий шаг: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме. Так ты закрепишь разряды, действия и проверку результата на практике.

Главная цепочка: разряды → запятая → вычисление → проверка