Математика 5 класс: углы и многоугольники

Разберись, что такое угол и как его измерять

Углы встречаются не только в задачах: они есть в стрелках часов, открытой книге и крышке ноутбука. Разберём тему с нуля, чтобы ты научился узнавать виды углов, измерять их транспортиром и решать задачи без путаницы.

Угол состоит из двух лучей, которые выходят из одной точки. Общая точка называется вершиной угла, а лучи — его сторонами. Угол обозначают тремя заглавными буквами, например ∠АВС. Средняя буква всегда показывает вершину: значит, вершина здесь — точка В.

Размер угла измеряют в градусах. Полный оборот равен 360°, развёрнутый угол — 180°, прямой — 90°. Острый угол меньше 90°, тупой больше 90°, но меньше 180°. Чтобы измерить угол транспортиром, совмести его центр с вершиной, а нулевую отметку — с одной стороной угла. Затем смотри на шкалу, которая начинается от этой стороны.

Пример: угол равен 42°.
42° < 90° → угол острый.

Если одна сторона угла направлена влево, не выбирай первую попавшуюся шкалу. Начинай отсчёт от нуля, который лежит на этой стороне.

Научись находить неизвестный угол

Для вычислений важно знать несколько простых правил. Углы, образующие развёрнутый угол, в сумме дают 180°. Углы вокруг одной точки вместе составляют 360°. Если два угла образуют прямой угол, их сумма равна 90°.

Решай задачу по шагам: сначала определи, какую общую величину дают углы, затем составь действие и проверь, подходит ли ответ по смыслу.

Задача: один угол развёрнутого угла равен 65°. Найди второй.
Развёрнутый угол: 180°.
Второй угол = 180° − 65° = 115°.
Ответ: 115°, это тупой угол.

Задача: два угла вокруг точки равны 120° и 80°, третий неизвестен.
Сумма углов вокруг точки: 360°.
Третий угол = 360° − 120° − 80° = 160°.
Ответ: 160°.

Закрепить такие действия можно в бесплатной практике личного кабинета «Просто Урок»: после объяснения сразу решай похожие примеры.

Различай треугольники и многоугольники

Многоугольник — это фигура, составленная из отрезков. Отрезки называются сторонами, их концы — вершинами. Название зависит от числа сторон: 3 — треугольник, 4 — четырёхугольник, 5 — пятиугольник, 6 — шестиугольник.

У каждого многоугольника число сторон равно числу вершин и числу внутренних углов. Стороны не должны пересекаться между собой, кроме соседних сторон в общей вершине.

Фигура	Стороны	Вершины
Треугольник	3	3
Четырёхугольник	4	4
Пятиугольник	5	5
Шестиугольник	6	6

Треугольники различают по сторонам: равносторонний имеет три равные стороны, равнобедренный — две равные, разносторонний — все разные. По углам треугольник бывает остроугольным, прямоугольным или тупоугольным.

В обычной жизни многоугольники легко заметить: дорожный знак может быть треугольным, плитка — четырёхугольной, а снежинка похожа на шестиугольник.

Вычисляй периметр фигур уверенно

Периметр — это длина границы фигуры. Чтобы его найти, сложи длины всех сторон. Периметр обозначают буквой P. Единицы измерения должны быть одинаковыми: нельзя складывать 4 см и 20 мм, пока не переведёшь их в одни единицы.

Пример: стороны треугольника равны 5 см, 7 см и 9 см.
\( P = 5 \text{см} + 7 \text{см} + 9 \text{см} = 21 \text{см}. \)
Ответ: периметр равен 21 см.

У прямоугольника противоположные стороны равны. Поэтому можно сложить длину и ширину, а результат умножить на 2.

Пример: длина прямоугольника 8 см, ширина 3 см.
\( P = 2 \cdot (8 \text{см} + 3 \text{см}) = 2 \cdot 11 \text{см} = 22 \text{см}. \)

У квадрата все стороны равны. Его периметр можно найти сложением четырёх одинаковых сторон или умножением стороны на 4.

Пример: сторона квадрата 6 см.
\( P = 4 \cdot 6 \text{см} = 24 \text{см}. \)

В личном кабинете «Просто Урок» удобно тренироваться на рисунках: отмечай каждую сторону, чтобы случайно не пропустить её.

Избегай ошибок в задачах про углы и фигуры

Первая частая ошибка — путать вершину и сторону угла. В записи ∠КМР вершина находится в точке М, потому что она стоит посередине. Вторая ошибка — неверно читать транспортир. Всегда начинай отсчёт с нуля на стороне угла, а не с края шкалы.

Третья ошибка — считать периметром сумму только разных сторон. Для прямоугольника это возможно лишь тогда, когда ты не забудешь умножить сумму длины и ширины на 2. Четвёртая — складывать сантиметры с миллиметрами без перевода единиц.

После решения проверь ответ. Острый угол не может быть равен 120°, а периметр должен иметь единицу длины: см, м или мм. Если в задаче спрашивают длину, ответ без единиц считается неполным.

Полезный порядок проверки: перечитать условие, посмотреть на рисунок, проверить вычисления и оценить, реалистичен ли результат.

Что запомнить и что потренировать дальше

Угол имеет вершину и две стороны. Острый угол меньше 90°, прямой равен 90°, тупой больше 90°, а развёрнутый равен 180°. Вокруг точки углы составляют 360°. При решении сначала найди общую величину, затем вычти известные углы.

Многоугольник состоит из отрезков. Число его сторон равно числу вершин. Периметр находят сложением всех сторон. Для прямоугольника P = 2 · (a + b), для квадрата P = 4 · a.

К концу темы ты должен уметь распознавать виды углов, пользоваться транспортиром, находить неизвестный угол, называть многоугольники по числу сторон и вычислять их периметр. Отдельно потренируй перевод единиц длины.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся в личном кабинете «Просто Урок» и бесплатно реши 5 заданий по теме. После каждого ответа сверяй не только результат, но и ход решения.