Математика 7 класс: геометрия — углы и треугольники

Разберись, как устроены углы

Если в задаче про углы непонятно, что складывать и где искать неизвестное, можно запутаться уже в первой строке. Разберём тему с нуля: научимся узнавать виды углов, находить их величины и объяснять решение без угадывания.

Угол образуют два луча, выходящие из одной точки. Общая точка называется вершиной, а лучи — сторонами угла. Угол обозначают одной буквой вершины или тремя буквами, причём буква вершины стоит в середине: ∠ABC.

Основные виды углов:

Вид угла	Величина
Острый	меньше 90°
Прямой	90°
Тупой	больше 90°, но меньше 180°
Развёрнутый	180°

Смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны образуют прямую линию. Их сумма равна 180°. Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Они равны.

Находи неизвестный угол по шагам

В геометрии важно не только получить число, но и показать путь к нему. Начинай с рисунка: отметь известные углы, найди прямую линию или пересечение, а затем выбери подходящее свойство.

Пример 1. Один из смежных углов равен 68°. Найдём второй.
Сумма смежных углов: 180°.
Второй угол = 180° − 68° = 112°.
Ответ: 112°.

Пример 2. При пересечении прямых один угол равен 47°. Найдём вертикальный угол.
Вертикальные углы равны.
Искомый угол = 47°.
Ответ: 47°.

Если рядом с двумя параллельными прямыми стоит секущая, появляются дополнительные правила. Накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, а односторонние в сумме дают 180°. Эти названия сначала кажутся сложными, поэтому полезно смотреть не на слова, а на расположение углов на рисунке.

Для короткой тренировки можно открыть бесплатную практику в личном кабинете «Просто Урок» и сразу проверить, какое правило выбрано.

Понимай треугольник, а не заучивай его

Треугольник — это фигура с тремя сторонами, тремя вершинами и тремя углами. Его стороны могут быть разными, две могут быть равными или все три могут совпадать. По сторонам треугольники называют разносторонними, равнобедренными и равносторонними.

По углам треугольник бывает остроугольным, прямоугольным или тупоугольным. В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°. Сторона напротив прямого угла называется гипотенузой, а две другие — катетами.

Главное свойство любого треугольника: сумма его углов равна 180°. У равнобедренного треугольника углы при основании равны. У равностороннего треугольника все стороны равны, поэтому каждый угол равен 60°.

Пример 3. В треугольнике два угла равны 52° и 71°. Найдём третий.
Сумма углов треугольника: 180°.
Третий угол = 180° − 52° − 71° = 57°.
Ответ: 57°.

Проверь себя: 52° + 71° + 57° = 180°. Такая проверка занимает несколько секунд и помогает заметить ошибку в вычислениях.

Решай задачи на равнобедренные треугольники

У равнобедренного треугольника две равные стороны называют боковыми, а третью — основанием. Углы, прилежащие к основанию, тоже равны. Это свойство часто превращает задачу с несколькими неизвестными в простое вычитание.

Пример 4. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40°. Найдём углы при основании.
Два угла при основании равны, обозначим каждый x.
\( x + x + 40^\circ = 180^\circ . \)
\( 2x = 140^\circ . \)
\( x = 70^\circ . \)
Ответ: 70° и 70°.

Есть и обратное утверждение: если в треугольнике два угла равны, то напротив них лежат равные стороны. Поэтому по рисунку можно переходить от равных сторон к равным углам и обратно.

В задаче удобно сначала написать маленький план: отметить равные элементы, составить сумму углов, найти неизвестное. Такой порядок работает даже тогда, когда рисунок выглядит непривычно.

В тренажёре «Просто Урок» можно отдельно потренировать свойства равнобедренного и прямоугольного треугольника.

Не теряй баллы из-за типичных ошибок

Первая ошибка — считать вертикальными любые углы, которые просто находятся напротив друг друга на рисунке. Они вертикальные только при пересечении двух прямых и имеют общую вершину.

Вторая ошибка — использовать 180° там, где нужна сумма углов треугольника. Число 180° подходит и для развёрнутого угла, и для суммы углов треугольника, но основания разные: в одном случае это прямая линия, в другом — фигура с тремя углами.

Третья ошибка — забывать единицу измерения. В ответе пишут не просто 64, а 64°. Четвёртая — верить рисунку на глаз. Чертёж может быть сделан не в масштабе, поэтому равенство или величину подтверждай условием и свойствами.

Проверка здравого смысла:
угол треугольника должен быть больше 0° и меньше 180°;
сумма трёх углов должна быть 180°;
если один угол равен 120°, два других вместе дают 60°.

Если решение не получается, перечитай условие и выпиши все данные отдельно. Часто нужное равенство уже сказано словами: «равнобедренный», «прямой», «параллельные прямые».

Что запомнить и как закрепить тему

Угол состоит из двух лучей и вершины. Смежные углы в сумме дают 180°, вертикальные углы равны. Сумма углов любого треугольника равна 180°. В равнобедренном треугольнике равны углы при основании, а в равностороннем каждый угол равен 60°.

Решая задачу, действуй по порядку: изучи рисунок, выпиши известные величины, назови правило, составь выражение, вычисли и проверь ответ. Не нужно запоминать десятки отдельных ходов: большинство задач строится на нескольких свойствах.

К концу темы ты должен уметь различать виды углов и треугольников, находить неизвестный угол, применять свойства вертикальных и смежных углов, объяснять решение и проверять результат.

Следующий шаг — зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме. После практики правила начинают работать увереннее.