Математика 8 класс: квадратные корни и уравнения

Разбираемся, что такое квадратный корень

Квадратные корни часто кажутся сложными из-за нового знака √ и непривычных правил, но ошибки обычно возникают не в вычислениях, а в порядке действий. В этом разборе ты по шагам научишься находить корни, упрощать выражения и решать квадратные уравнения без угадывания.

Квадратным корнем из числа a называют неотрицательное число, квадрат которого равен a. Например, √25 = 5, потому что 5² = 25. Число 25 называют подкоренным выражением, а знак √ — знаком корня.

Важно различать два утверждения:

\( \sqrt{3}6 = 6 \)
уравнение x² = 36 имеет два корня: x = 6 и x = −6

Знак √ обозначает только неотрицательное значение. Поэтому √49 = 7, а не ±7. Но при решении уравнения нужно проверить оба числа, ведь и 6², и (−6)² равны 36.

Корень существует в действительных числах только для a ≥ 0. Например, √0 = 0, а выражение √−9 в школьном курсе действительных чисел не имеет значения.

Упрощаем корни и выполняем действия

Начинай с разложения подкоренного числа на множители. Если среди них есть полный квадрат, его можно вынести из-под корня. Полными квадратами называют 1, 4, 9, 16, 25, 36 и так далее.

\( \sqrt{7}2 = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \)
\( \sqrt{5}0 = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \)
\( \sqrt{12a^2} = 2|a|\sqrt{3} \)

В последней записи появляются квадратные скобки по смыслу: √a² = |a|. Если в условии указано, что a ≥ 0, можно написать √a² = a. Если такого условия нет, модуль убирать нельзя.

Складывать и вычитать можно только подобные корни, то есть выражения с одинаковой частью под знаком корня:

\( 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \)
\( 7\sqrt{3} - \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \)
√2 + √3 — упростить сложением нельзя

При умножении корней используют правило √a × √b = √(a × b), если a ≥ 0 и b ≥ 0. При делении действуют аналогично, но знаменатель не должен быть равен нулю. Сначала упрости каждый корень, затем приведи подобные слагаемые.

Для короткой тренировки можно открыть бесплатную практику в личном кабинете «Просто Урок»: перейти к заданиям.

Решаем квадратные уравнения по алгоритму

Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Коэффициенты a, b и c могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Главное — сначала привести уравнение к стандартному виду и аккуратно определить коэффициенты.

Для решения чаще всего используют дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac \)
если D > 0, два корня: x₁ = (−b + √D) / (2a), x₂ = (−b − √D) / (2a)
если D = 0, один корень: x = −b / (2a)
если D < 0, действительных корней нет

Пример полностью:

\( 2x^2 - 5x - 3 = 0 \)
\( a = 2, b = -5, c = -3 \)
\( D = (-5)^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 25 + 24 = 49 \)
\( \sqrt{D} = 7 \)
\( x_1 = \dfrac{5 + 7}{4} = 3 \)
\( x_2 = \dfrac{5 - 7}{4} = \dfrac{-1}{2} \)
Ответ: x₁ = 3, x₂ = −1/2

После вычислений полезно сделать проверку подстановкой. Для x = 3: 2 × 3² − 5 × 3 − 3 = 18 − 15 − 3 = 0. Значит, первый корень найден верно. Второй можно проверить тем же способом.

Выбираем удобный способ решения

Не каждое уравнение нужно решать через дискриминант. Если выражение легко разложить на множители, используй правило произведения: если произведение равно нулю, хотя бы один множитель равен нулю.

\( x^2 - 9 = 0 \)
\( (x - 3)(x + 3) = 0 \)
x − 3 = 0 или x + 3 = 0
x = 3 или x = −3

Уравнения вида x² = a решаются с помощью корня:

\( x^2 = 64 \to x = \pm \sqrt{6}4 \to x = \pm 8 \)

Если коэффициент при x² равен единице, иногда удобно использовать теорему Виета. Для уравнения x² + bx + c = 0 сумма корней равна −b, а произведение корней равно c.

Вид уравнения	Удобный приём	Что проверить
x² = a	Квадратный корень	Знак ±
x² + bx + c = 0	Разложение или Виет	Сумму и произведение корней
ax² + bx + c = 0	Дискриминант	Коэффициенты и знак D

Выбор способа экономит время, особенно на контрольной. Но если разложение не видно сразу, не трать несколько минут на догадки: переходи к дискриминанту.

Находим и исправляем типичные ошибки

Первая ошибка — запись √a² = a без условия a ≥ 0. Правильная общая формула: √a² = |a|. Вторая — потеря знака минус в коэффициенте b. Если b = −6, в дискриминанте нужно писать (−6)², а не −6².

Третья ошибка — один ответ в уравнении x² = 25. Нужно записать x = 5 и x = −5. Четвёртая — попытка сложить разные корни:

\( \sqrt{7} + \sqrt{2} \ne \sqrt{9} \)
\( 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3} \)

Нельзя также сокращать слагаемые, как множители. Например, в выражении (x + 2) / x нельзя сократить x с суммой x + 2. Сначала разложи числитель на множители, если это возможно.

После решения всегда проверь ответ: подставь каждый корень в исходное уравнение, а не только в промежуточную строку. Такая проверка занимает немного времени и помогает заметить арифметическую ошибку.

В личном кабинете «Просто Урок» можно бесплатно потренироваться на похожих примерах: открыть практику.

Что запомнить перед самостоятельной работой

Квадратный корень √a — неотрицательное число, квадрат которого равен a. Под корнем в действительных числах должно быть выражение, не меньшее нуля. Полный квадрат можно вынести из-под корня, а складывать разрешается только подобные корни.

Для квадратного уравнения сначала приведи запись к виду ax² + bx + c = 0. Затем определи коэффициенты, вычисли D = b² − 4ac и выбери формулу по знаку дискриминанта. Если уравнение легко раскладывается на множители или имеет вид x² = a, используй более короткий способ.

Перед сдачей решения проверь три вещи: не потерян ли минус, записаны ли оба корня и выполнена ли подстановка в исходное уравнение. Эти три шага особенно полезны, когда задача решается в спешке.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме, чтобы закрепить алгоритмы на практике: зарегистрироваться и начать.