Математика 8 класс: теорема Виета в задачах

Как теорема Виета помогает решать квадратные уравнения

Если квадратное уравнение кажется длинным и запутанным, теорема Виета поможет быстро найти корни или проверить уже полученный ответ. Ты научишься видеть связь между коэффициентами и корнями, решать задачи короче и не теряться на контрольной.

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение: x² + bx + c = 0. Его корни обозначим x₁ и x₂. Теорема Виета утверждает:

\( x_1 + x_2 = -b \)
\( x_1 \cdot x_2 = c \)

То есть сумма корней равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Например, в уравнении x² − 7x + 12 = 0 сумма корней должна быть 7, а произведение — 12. Подходящая пара — 3 и 4.

Теорема работает именно для приведённого уравнения, где коэффициент при x² равен 1. Если он другой, сначала раздели все слагаемые на этот коэффициент.

Алгоритм решения: четыре шага без лишних действий

Начинай с проверки вида уравнения. Если перед x² стоит единица, можно сразу применять теорему Виета. Если коэффициент не равен единице, приведи уравнение к нужному виду. Это первый шаг, который часто пропускают.

Дальше определи b и c, не забывая об их знаках. В уравнении x² + 5x − 14 = 0 имеем b = 5 и c = −14. Значит, корни должны удовлетворять условиям:

\( x_1 + x_2 = -5 \)
\( x_1 \cdot x_2 = -14 \)

Теперь подбери два числа. При отрицательном произведении числа имеют разные знаки. Из пар множителей 14 подходят 2 и −7: их сумма равна −5. После этого полезно выполнить проверку подстановкой в исходное уравнение.

Если целые корни не находятся быстро, не перебирай числа бессистемно. Можно использовать дискриминант: D = b² − 4c, а затем формулу корней. Теорема Виета особенно удобна, когда корни целые или когда нужно проверить ответ.

Небольшую тренировку с такими шагами можно продолжить в бесплатном личном кабинете «Просто Урок»: открыть практику.

Полный разбор задачи из школьной программы

Решим уравнение 2x² − 10x + 12 = 0. Сначала видим, что коэффициент при x² равен 2, поэтому теорему Виета напрямую применять нельзя. Разделим каждое слагаемое на 2 и получим приведённое уравнение.

\( 2x^2 - 10x + 12 = 0 \)
\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
\( b = -5, c = 6 \)
\( x_1 + x_2 = 5 \)
\( x_1 \cdot x_2 = 6 \)
\( x_1 = 2, x_2 = 3 \)
\( 2 + 3 = 5 \)
\( 2 \cdot 3 = 6 \)
Ответ: x₁ = 2, x₂ = 3

Почему мы выбрали именно 2 и 3? Положительные множители числа 6 дают пары 1 и 6, 2 и 3. Только вторая пара имеет сумму 5. Значит, оба условия теоремы выполнены.

Проверим корни в исходном уравнении. При x = 2 получаем 8 − 20 + 12 = 0. При x = 3 получаем 18 − 30 + 12 = 0. Оба значения подходят.

Обрати внимание: деление уравнения на 2 не меняет его корни, потому что мы делим обе части равенства на ненулевое число.

Как решать обратные задачи по сумме и произведению

В задачах часто не просят решить уравнение напрямую. Нужно составить его по заданным корням или найти неизвестный коэффициент. Здесь теорема Виета работает в обратную сторону.

Если корни равны 4 и −3, то их сумма составляет 1, а произведение — −12. Для приведённого уравнения x² + bx + c = 0 имеем −b = 1, значит b = −1, а c = −12. Получаем:

\( x^2 - x - 12 = 0 \)

Иногда известен один корень. Например, в уравнении x² − 9x + q = 0 один корень равен 4. По сумме корней второй корень равен 5. Тогда q равно произведению корней: q = 4 · 5 = 20.

Что известно	Что используем	Какой вывод
Сумма корней	x₁ + x₂ = −b	Находим коэффициент b
Произведение корней	x₁ · x₂ = c	Находим свободный член c
Один корень	Сумма или произведение	Находим второй корень

Такие задачи встречаются и в самостоятельных работах, и в заданиях на параметры.

Типичные ошибки и способы их избежать

Первая ошибка — применение теоремы к неприведённому уравнению. Для 3x² − 12x + 9 = 0 нельзя сразу говорить, что сумма корней равна 12. Сначала раздели уравнение на 3: x² − 4x + 3 = 0. Только теперь сумма равна 4, а произведение — 3.

Вторая ошибка связана со знаком. В формуле сумма корней равна −b, а не b. Поэтому для x² + 6x + 8 = 0 сумма корней равна −6. Подходящая пара — −2 и −4.

Третья ошибка — отсутствие проверки. Даже если пара чисел найдена быстро, подставь её в два условия Виета. Четвёртая — запись только одного корня, когда уравнение имеет два различных решения.

Если дискриминант равен нулю, корни совпадают: x₁ = x₂. Тогда сумма равна 2x₁, а произведение — x₁². Это тоже можно проверить через теорему.

Попробуй разобрать похожие примеры в личном кабинете «Просто Урок»: перейти к тренажёру.

Что запомнить перед самостоятельной работой

Для уравнения x² + bx + c = 0 теорема Виета даёт две главные связи: x₁ + x₂ = −b и x₁ · x₂ = c. Сначала проверь, что уравнение приведённое. Затем выпиши сумму и произведение, подбери пару чисел и обязательно выполни проверку.

Если свободный член отрицательный, корни разных знаков. Если произведение положительное, знаки одинаковые. Коэффициент b определяет сумму с противоположным знаком. Эти наблюдения ускоряют подбор и помогают заметить ошибку ещё до подстановки.

Не смешивай теорему Виета с формулой дискриминанта. Виета удобна для быстрых целых корней и проверки, а дискриминант помогает исследовать число корней и находить их, когда подбор не получается.

Следующий шаг: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме бесплатно: начать тренировку. После каждого ответа сверяй не только результат, но и знак суммы, знак произведения и вид исходного уравнения.