Медиана, биссектриса и высота

Разберись, чем отличаются три линии в треугольнике

В задачах по геометрии легко перепутать медиану, биссектрису и высоту, а из-за одной ошибки потерять всё решение. Разберём признаки и свойства так, чтобы ты мог быстро определить нужный отрезок и уверенно применять формулы.

Все три отрезка начинаются в вершине треугольника, но заканчиваются и делят фигуру по-разному. Медиана идёт к середине противоположной стороны. Биссектриса делит угол вершины пополам. Высота перпендикулярна противоположной стороне или её продолжению.

Отрезок	Главный признак	Что делит
Медиана	Конец в середине стороны	Противоположную сторону пополам
Биссектриса	Делит угол на два равных угла	Угол вершины
Высота	Образует угол 90° со стороной	Треугольник на два прямоугольных

Один и тот же отрезок может совмещать несколько ролей. Например, в равнобедренном треугольнике линия из вершины к основанию одновременно является медианой, биссектрисой и высотой.

Находи медиану по середине стороны

Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Если медиана проведена из вершины A к стороне BC, её конец обозначают, например, буквой M. Тогда BM = MC. Это равенство важнее внешнего вида рисунка: даже если чертёж неточный, условие о середине сразу подсказывает свойство.

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. У них общая высота к стороне BC, а основания BM и MC равны. Поэтому если площадь треугольника ABC равна 28 см², то площади треугольников ABM и ACM равны по 14 см².

\( BM = MC \)
\( S△ABM = S△ACM \)
AM — медиана

В координатной задаче сначала находят середину отрезка. Для концов с координатами (x₁; y₁) и (x₂; y₂) координаты середины равны средним арифметическим соответствующих координат.

Бесплатно потренироваться на распознавании медианы можно в личном кабинете «Просто Урок»: открыть практику.

Понимай биссектрису через равные углы

Биссектриса угла — луч, который делит угол на два равных угла. В треугольнике биссектриса соединяет вершину с противоположной стороной. Если AD — биссектриса угла A, то ∠BAD = ∠DAC. Не нужно автоматически считать, что точка D является серединой стороны: это верно не в каждом треугольнике.

Главная теорема о биссектрисе треугольника связывает части противоположной стороны с прилежащими сторонами:

\( BD : DC = AB : AC \)

Например, если AB = 6 см, AC = 9 см, а BD = 4 см, то отношение частей стороны BC равно 2 : 3. Значит, DC = 6 см, а BC = 10 см.

У биссектрисы есть и важное свойство: любая её точка равноудалена от сторон угла. Расстояние здесь измеряют по перпендикуляру. Поэтому биссектрисы углов треугольника пересекаются в центре вписанной окружности.

Используй высоту для прямых углов и площадей

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону или её продолжение. Значит, рядом с высотой всегда появляется прямой угол 90°. В остром треугольнике высоты лежат внутри. В тупом две высоты выходят за пределы фигуры, потому что приходится продолжать стороны.

Высота нужна прежде всего в формуле площади:

\( S = ½ \times a \times hₐ \)

Здесь a — выбранное основание, а hₐ — высота, проведённая к этому основанию. Если основание равно 12 см, а высота 5 см, площадь равна 30 см². Нельзя брать произвольный отрезок: высота должна быть перпендикулярна именно выбранному основанию.

В прямоугольном треугольнике два катета одновременно являются высотами, если один катет выбрать основанием. В равнобедренном треугольнике высота к основанию проходит через его середину и поэтому совпадает с медианой.

Реши задачу по признакам и формуле

Разберём типичный пример. В равнобедренном треугольнике ABC стороны AB и AC равны 13 см, основание BC равно 10 см. Из вершины A проведена высота AD. Найдём её длину.

AB = AC, значит △ABC — равнобедренный
AD — высота, поэтому ∠ADB = 90°
В равнобедренном треугольнике высота к основанию является медианой
\( BD = DC = BC : 2 = 10 : 2 = 5 \text{см} \)
По теореме Пифагора в △ABD:
\( AD^2 = AB^2 - BD^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \)
\( AD = \sqrt{1}44 = 12 \text{см} \)
Ответ: AD = 12 см

В решении важна последовательность. Сначала используй равенство боковых сторон, затем свойство равнобедренного треугольника, и только после этого применяй теорему Пифагора. Если сразу искать высоту по рисунку, можно выбрать неправильный треугольник.

После разбора удобно закрепить шаги в бесплатном тренажёре личного кабинета «Просто Урок»: перейти к заданиям.

Запомни главное и проверь себя

Медиана ведёт к середине стороны: две получившиеся части равны. Биссектриса делит угол пополам: образуются два равных угла. Высота образует со стороной прямой угол и помогает находить площадь. В равнобедренном треугольнике отрезок из вершины к основанию может быть сразу всеми тремя линиями.

Перед решением прочитай условие и задай себе три вопроса: что делится пополам — сторона или угол? Есть ли угол 90°? Можно ли применить особое свойство равнобедренного или прямоугольного треугольника?

Следующий шаг: зарегистрируйся в личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме бесплатно. Так ты проверишь, узнаёшь ли нужный отрезок не только в теории, но и на чертеже.