Одночлены и многочлены

Разберись, чем отличаются одночлены и многочлены

Если буквенные выражения кажутся набором случайных знаков, ошибки обычно начинаются с самого первого шага: трудно понять, что можно складывать, а что нельзя. После этого разбора ты научишься быстро распознавать одночлены и многочлены, приводить подобные слагаемые и уверенно решать задания школьной программы.

Одночлен — это выражение, в котором числа и переменные соединены только умножением, делением на число или возведением переменной в натуральную степень. Например: 7x², −3ab, ½m³n. Число перед буквами называют коэффициентом, а буквы с показателями — буквенной частью.

Многочлен — это сумма или разность одночленов. Его части называют членами многочлена. Примеры: 4x² − 3x + 8, ab + 5a − 2b, 6y³ − y.

\( 5x^2 \cdot 3x = 15x^3 \)
\( -2ab \cdot 4a^2 = -8a^3b \)
\( 3x^2 + 7x^2 = 10x^2 \)

Знак «минус» перед членом относится ко всему коэффициенту. Поэтому в выражении 5a − 2a второе слагаемое имеет коэффициент −2.

Находи степень и стандартный вид выражения

Чтобы привести одночлен к стандартному виду, сначала перемножь числовые коэффициенты, затем собери одинаковые переменные и запиши их степени. Если буква встречается несколько раз, показатели складываются: x² · x³ = x⁵.

Степень одночлена — сумма показателей всех переменных. У одночлена 4a²b³ степень равна 2 + 3 = 5. У числа 9 степень считают равной нулю. Нулевой показатель тоже полезно помнить: x⁰ = 1 при x ≠ 0.

Выражение	Стандартный вид	Степень
2a · 3a²	6a³	3
−4xy · 2x	−8x²y	3
7m²n · 0	0	не определяют

Коэффициент 1 обычно не записывают: 1x² = x². Коэффициент −1 тоже сокращают: −1b = −b. Такой порядок записи помогает не потерять знак и увидеть степень с первого взгляда.

Складывай только подобные слагаемые

Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть с теми же показателями. Отличаться могут только коэффициенты. Например, 6x² и −x² подобны, а 6x² и 6x — нет: степени переменной различаются.

Чтобы упростить многочлен, выпиши коэффициенты подобных слагаемых и сложи их, а буквенную часть оставь без изменения. Если коэффициенты взаимно уничтожаются, слагаемое исчезает.

\( 8a - 3a + 5 = 5a + 5 \)
\( 4x^2 + 2x - 7x^2 + 1 = -3x^2 + 2x + 1 \)
\( 3mn - 5m + 2mn = 5mn - 5m \)

Порядок членов можно менять, но чаще выражение записывают по убыванию степеней. Это особенно удобно в заданиях ОГЭ, где нужно преобразовать выражение или выбрать равное ему.

Бесплатная практика в личном кабинете «Просто Урок» поможет сразу проверить, умеешь ли ты находить подобные слагаемые: открыть кабинет.

Не складывай разные буквенные части «по внешнему виду». Выражения 2ab и 2a²b похожи, но второе содержит дополнительную букву a. Они не являются подобными.

Раскрывай скобки без потери знаков

Перед скобками стоит множитель? Умножь его на каждый член внутри скобок. Если перед скобками стоит плюс, знаки внутри сохраняются. Если стоит минус, знаки всех слагаемых меняются.

\( 3(x + 4) = 3x + 12 \)
\( -2(a - 5) = -2a + 10 \)
\( 7 - (2y - 3) = 7 - 2y + 3 = 10 - 2y \)

Полезный алгоритм такой: сначала раскрой скобки, затем перенеси похожие члены рядом и только после этого выполни сложение. Не пытайся одновременно раскрывать скобки и считать несколько строк в уме.

После преобразования можно сделать быструю проверку: подставь простое значение, например x = 1, в исходное и получившееся выражение. Если результаты различаются, где-то потерян знак или коэффициент.

Закрепить этот алгоритм можно короткой бесплатной серией упражнений в кабинете «Просто Урок»: перейти к практике.

Реши многочлен по шагам и избегай ошибок

Разберём выражение полностью: 4x − 3(2x − 5) + x. Сначала умножим −3 на каждый член скобок, затем соберём подобные слагаемые.

\( 4x - 3(2x - 5) + x \)
\( = 4x - 6x + 15 + x \)
\( = (4 - 6 + 1)x + 15 \)
\( = -x + 15 \)

Ответ: 15 − x. Оба варианта равны, потому что слагаемые можно переставлять.

В таких заданиях чаще всего встречаются четыре ошибки. Первая — складывают коэффициенты у неподобных членов. Вторая — забывают умножить внешний множитель на последний член скобок. Третья — неверно раскрывают скобки с минусом. Четвёртая — путают степень произведения со степенью одной переменной.

Если нужно доказать равенство, преобразуй левую и правую части отдельно до одинакового вида. Если требуется найти значение, сначала упрости выражение, а затем подставляй число. При дробных коэффициентах удобно помнить: ¾x + ¼x = x, а смешанное число 2⅓ нужно при необходимости представить как 7⁄3.

Для самопроверки используй подстановку: выбери x = 2 и сравни исходную запись с ответом. Такой приём не заменяет решение, но быстро обнаруживает арифметическую ошибку.

Запомни главное и сделай следующий шаг

Одночлен состоит из произведения чисел и переменных. Многочлен является суммой или разностью одночленов. Стандартный вид получают, перемножая коэффициенты и складывая показатели одинаковых букв.

Подобные слагаемые имеют одну и ту же буквенную часть. Скобки раскрывают распределительным законом: множитель умножают на каждый член. Минус перед скобками меняет знаки всех слагаемых внутри.

\( aᵐ \cdot aⁿ = aᵐ^+ⁿ \)
aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, если a ≠ 0
\( k(u + v) = ku + kv \)

Следующий шаг простой: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме, чтобы проверить понимание на практике: начать тренировку.

Если ошибёшься, не стирай решение сразу. Отметь место, где появился неверный знак или были объединены неподобные члены. Именно такой разбор превращает правило в устойчивый навык.